北师大版九年级上册数学期末学情评估模拟试卷（含答案解析）

这是一份北师大版九年级上册数学期末学情评估模拟试卷（含答案解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程中，①x2+6＝3x；②1x2=7；③x2﹣x＝0；④2x﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0．是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．用一个平面去截棱柱、圆锥、棱锥，相同的截面形状是（ ）
A．长方形B．圆C．三角形D．梯形
3．下列运算正确的是（ ）
A．2m+2＝4mB．m2•m3＝m5C．（2m）3＝6m3D．m3÷m3＝m
4．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在B1，C1处，若∠AEB1＝70°，则∠BEF＝（ ）
A．70°B．60°C．65°D．55°
5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（ ）cm．
A．24−85B．48−165C．85−8D．165−16
6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y=mx(m≠0)图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式kx+b≤mx的解集是（ ）
A．x≤﹣1或x≥2B．﹣1≤x＜0或0＜x≤2
C．x≤﹣1或0＜x≤2D．﹣1≤x＜0或x≥2
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
8．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A．ACCE=BDDFB．ACCD=ECEFC．CEAE=DFBFD．AEAC=BFBD
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
9．已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y=−3x的图象上，且x1＜0＜x2，那么y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
10．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 ．
11．化简：（x+2−5x−2）÷x−32x−4= ．
12．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 ．
13．已知△ABC中，D为AB的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于12AC长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交AC于点AE；③连接DE．若△ADE的周长为5cm，则△ABC的周长为 ．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分。
14．（12分）（1）计算：(12)−1−25+(π−2024)0+|3−2|；
（2）解方程：3（x+4）2＝x（x+4）．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，0），C（2，2），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）作△ABC关于y轴的轴对称图形△AB2C2，请在平面直角坐标系中画出△AB2C2，并填写B2，C2的坐标．
点B2的坐标为（ ， ）；点C2的坐标为（ ， ）．
（2）△A1B1C1的顶点坐标分别为A1（0，3），B1（6，1），C1（4，5），若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（ ， ）．
16．（8分）由天府新区管委会主办，四川天府新区太平街道承办的“莓好世界．莓好相约”四花卉（果类）生态旅游节暨天府新区第十八届冬草莓节在2023年12月9日举行．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级三班一共 人，其中B类所对应的圆心角为 ．
（2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的有多少人．
（3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率．
17．（10分）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
18．（10分）如图，函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kx（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 m2．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+1＝0有两个实数根分别为x1，x2，若x12+x22+x1x2＝6，则m的值为 ．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+2图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点C（4，4）作CD⊥x轴于点D，点E是线段AB上一动点，连接BD，EO，若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则点E的坐标为 ．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将△BOC沿直线BD翻折得到△BOF，BF交AD于点E，则S△BED＝ ．
23．如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．（8分）某菜市场有A、B两类摊位，A类摊位数是B类摊位数的2倍．管理单位每月底按A类每个摊位50元、B类每个摊位80元收取当月管理费，每月可收取管理费4500元，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）分别求出该菜市场A、B两类摊位数；
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在十月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，A、B两类摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，十一月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，十一月份参加活动二的A类摊位的总个数将在十月份参加活动一的A类摊位个数的基础上增加2a%，每个摊位的管理费将会减少310a%；十一月份参加活动二的B类摊位的总个数将在十月份参加活动一的B类摊位个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少14a%．
①用含a的代数式分别表示出十一月份参加活动二的A、B两类摊位数；
②若参加活动二的这部分商户十一月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少500元，求a的值．
25．（10分）如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．1：2是一个很有趣的比．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在AB上截取点D，使AD＝AC，则AD：AB＝1：2，我们称点D为AB的“趣点”．
（1）若点E为AC的“趣点”（CE＜AE），连接DE，
①求证：S△ADES△ABC=12；
②在AB上方构造△EDF，使△EDF∽△CDB，设EF交CB于点Q．试探究：点Q是否为BC的“趣点”？说明理由．
（2）把（1）中的点E移动到与点A重合，②中条件不变，请在备用图中画出图形，若AB＝6，求CD•QF的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程中，①x2+6＝3x；②1x2=7；③x2﹣x＝0；④2x﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0．是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一元二次方程的定义，直接判断即可．
【解答】解：方程①③⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
方程②是分式方程，④是二元一次方程．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的条件是解决本题的关键．一元二次方程的条件：（1）方程是整式方程；
（2）方程只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2．
2．用一个平面去截棱柱、圆锥、棱锥，相同的截面形状是（ ）
A．长方形B．圆C．三角形D．梯形
【分析】根据棱柱、圆锥、棱锥的形状特点判断即可．
【解答】解：∵用一个平面去截棱柱、圆锥、棱锥，
∴都能得到的截面图形是三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的截面，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2m+2＝4mB．m2•m3＝m5C．（2m）3＝6m3D．m3÷m3＝m
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2m与2不能合并，故此选项不符合题意；
B、m2•m3＝m5，故此选项符合题意；
C、（2m）3＝8m3，故此选项不符合题意；
D、m3÷m3＝1，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在B1，C1处，若∠AEB1＝70°，则∠BEF＝（ ）
A．70°B．60°C．65°D．55°
【分析】根据折叠的性质可得出∠BEF＝∠B1EF，再根据∠AEB1＝70°，即可得出∠BEF的度数．
【解答】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在B1，C1处，
∴∠BEF＝∠B1EF，
∵∠AEB1＝70°，∠AEB1+∠BEF+∠AEB1＝180°，
∴∠BEF＝（180°﹣∠AEB1）=12×(180°−70°)=55°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角是解此题的关键．
5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（ ）cm．
A．24−85B．48−165C．85−8D．165−16
【分析】根据黄金分割的定义得到AB=5−12AC，把AC＝16代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），
∴AB=5−12AC，
∵AC＝16，
∴AB=5−12×16＝85−8，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键．
6．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y=mx(m≠0)图象交于点A（﹣1，2），B（2，﹣1），则不等式kx+b≤mx的解集是（ ）
A．x≤﹣1或x≥2B．﹣1≤x＜0或0＜x≤2
C．x≤﹣1或0＜x≤2D．﹣1≤x＜0或x≥2
【分析】利用函数图象得到当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y=mx(m≠0)图象下方时x的取值即可．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象不在反比例函数y=mx(m≠0)图象上方时，x的取值范围是：﹣1≤x＜0或x≥2，
∴不等式kx+b≤mx的解集是：﹣1≤x＜0或x≥2，
故选：D．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定是解题的关键．
8．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A．ACCE=BDDFB．ACCD=ECEFC．CEAE=DFBFD．AEAC=BFBD
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ACCE=BDDF，CEAE=DFBF，AEAC=BFBD；
∴选项A、C、D正确，
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
9．已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y=−3x的图象上，且x1＜0＜x2，那么y1 ＞ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞y2；
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y=kx图象和性质是解题的关键，即当k＞0时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．
10．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 2.15×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：215000000用科学记数法表示为2.15×108．
故答案为：2.15×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．化简：（x+2−5x−2）÷x−32x−4= 2x+6 ．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算计算得出答案．
【解答】解：原式＝[(x+2)(x−2)x−2−5x−2]•2(x−2)x−3
=(x−3)(x+3)x−2•2(x−2)x−3
＝2（x+3）
＝2x+6．
故答案为：2x+6．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
12．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 49 ．
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，得到△OAB∽△ODE，求出ABDE，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵OA：AD＝3：4，
∴OA：OD＝3：7，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OAOD=37，
∴S△ABCS△DEF=（37）2=949，
∵S△ABC＝9，
∴△DEF的面积为49，
故答案为：49．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13．已知△ABC中，D为AB的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于12AC长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交AC于点AE；③连接DE．若△ADE的周长为5cm，则△ABC的周长为 10cm ．
【分析】利用基本作图得到E为AC的垂直平分线与AC的交点，则AE＝EC，再证明DE为△ABC的中位线得到DE=12BC，然后利用AD+DE+AE＝5cm得到AB+BC+AC＝10cm．
【解答】解：由作法得点E为AC的垂直平分线与AC的交点，
∴AE＝EC，
∵D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC且DE∥BC，
∴△AED∽△ACB．
∵△ADE的周长为5cm，
△ABC的周长＝2×△ADE的周长＝10cm．
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分。
14．（1）计算：(12)−1−25+(π−2024)0+|3−2|；
（2）解方程：3（x+4）2＝x（x+4）．
【分析】（1）分别根据绝对值的性质、零指数幂、负指数幂及化简二次根式计算出各数，再根据实数运算的法则进行计算即可；
（2）利用因式分解法求出x的值即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣5+1+2−3
=−3；
（2）3（x+4）2＝x（x+4），
3（x+4）2﹣x（x+4）＝0，
（x+4）（3x+12﹣x）＝0，
∴x+4＝0或3x+12﹣x＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣6．
【点评】本题考查的是实数的运算以及因式分解法解一元二次方程，熟知绝对值的性质、零指数幂、负指数幂的计算法则是解答①的关键；熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解答②的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，0），C（2，2），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）作△ABC关于y轴的轴对称图形△AB2C2，请在平面直角坐标系中画出△AB2C2，并填写B2，C2的坐标．
点B2的坐标为（ ﹣3 ， 0 ）；点C2的坐标为（ ﹣2 ， 2 ）．
（2）△A1B1C1的顶点坐标分别为A1（0，3），B1（6，1），C1（4，5），若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（ 0 ， ﹣1 ）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）连接AA1，BB1，CC1，相交于点M，则点M即为位似中心，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△AB2C2即为所求．
点B2的坐标为（﹣3，0），点C2的坐标为（﹣2，2）．
故答案为：﹣3；0；﹣2；2．
（2）如图，作射线A1A，B1B，C1C，相交于点M，
则点M为△ABC与△A1B1C1的位似中心，
∴点M的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：0；﹣1．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质、位似的性质是解答本题的关键．
16．由天府新区管委会主办，四川天府新区太平街道承办的“莓好世界．莓好相约”四花卉（果类）生态旅游节暨天府新区第十八届冬草莓节在2023年12月9日举行．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级三班一共 40 人，其中B类所对应的圆心角为 36° ．
（2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的有多少人．
（3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率．
【分析】（1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得九年级三班的人数；用360°乘以样本中B的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）求出选择D类的人数，进而可得D类的人数所占的百分比，根据用样本估计总体，用600乘以D类的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选到甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）九年级三班共有的人数为16÷40%＝40（人）．
B类所对应的圆心角为360°×440=36°．
故答案为：40；36°．
（2）选择A类的人数为40×108360=12（人），
∴选择D类的人数为40﹣12﹣4﹣16＝8（人），
600×840=120（人）．
∴估计九年级学生选择D类的约有120人．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到甲和乙的结果有2种，
∴恰好选到甲和乙的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
17．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，先证AECF是菱形，然后根据∠AED＝45°，可证∠AEC＝90°，从而证得四边形AECF是正方形；
（2）由（1）可得AC＝EF，所以可以求出菱形ABCD的对角线长度，然后利用菱形的面积等于对角线的乘积的一半即可求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×10×4＝20．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质和判定，关键是掌握菱形的基本性质．
18．如图，函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kx（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式列出n、k的方程组便可求得n、k的值；
（2）由A点坐标求得直线OA的解析式，设C（m，8m），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，根据S△ACO＝6，列出m的方程求得C点坐标，由平移性质设直线DE的解析式，再代入C点坐标便可求得结果；
（3）先求出D、E的坐标，再分三种情况：①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，分别构造全等三角形求得F点坐标便可．
【解答】解：（1）∵函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
∴2n=k85(2n−3)=k，
解得，n=4k=8；
（2）由（1）知，A（4，2），
设直线OA的解析式为y＝ax（a≠0），则
2＝4a，
∴a=12，
∴直线OA的解析式为：y=12x，
由（1）知反比例函数的解析式为：y=8x，
设C（m，8m），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，如图1，
则H（m，12m），
∴CH=8m−12m，
∵S△ACO＝6，
∴12(8m−12m)×4=6，
解得，m＝﹣8（舍），或m＝2，
∴C（2，4），
∵将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，
∴设直线DE的解析式为：y=12x+c，
把C（2，4）代入y=12x+c中，得4＝1+c，
解得，c＝3，
∴直线DE的解析式为：y=12x+3；
（3）令x＝0，得y=12x+3＝3，
令y＝0，得y=12x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴D（﹣6，0），E（0，3），
①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，如图2，过F作FG⊥x轴于点G，
∵∠ODE+∠FDG＝∠ODE+∠OED＝90°，
∴∠OED＝∠GDF，
∵∠DOE＝∠FGD＝90°，DE＝FD，
∴△ODE≌△GFD（AAS），
∴DG＝0E＝3，FG＝DO＝6，
∴F（﹣9，6）；
②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，如图3，过F作FG⊥y轴于点G，
∵∠ODE+∠DEO＝∠GEF+∠OED＝90°，
∴∠ODE＝∠GEF，
∵∠DOE＝∠FGE＝90°，DE＝EF，
∴△ODE≌△GEF（AAS），
∴EG＝DO＝6，FG＝EO＝3，
∴F（﹣3，9）；
③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，如图4，过点F作FG⊥x轴于点G，作FH⊥y轴于点H，
∴∠DFE＝∠GFH＝90°，
∴∠DFG＝∠EFH，
∵∠DGF＝∠EHF＝90°，DF＝EF，
∴△DGF≌△EHF（AAS），
∴GF＝HF，DG＝EH，
∵∠FGO＝∠GOH＝∠OHF＝90°，
∴四边形OGFH为正方形，
∴OG＝OH，即6﹣DG＝3+EH，
∴DG＝EH=32，
∴OG＝OH=92，
∴F（−92，92）；
综上，第二象限内存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，其F点的坐标为（﹣9，6）或（﹣3，9）或（−92，92）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 94 m2．
【分析】用正方形的面积乘以小石子落在不规则区域的频率稳定的常数0.25即可得出答案．
【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25=94（m2），
故答案为：94．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+1＝0有两个实数根分别为x1，x2，若x12+x22+x1x2＝6，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；由根与系数的关系可用m表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于m的方程，即可求得m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+1＝0有两个实数根分别为x1，x2，
∴Δ≥0，即（﹣2）2﹣4×（m+1）≥0，x1+x2＝2，x1x2＝m+1，
解得m≤0；
∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2＝4﹣（m+1）＝6，
解得m＝﹣3（符合题意）．
故m的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+2图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点C（4，4）作CD⊥x轴于点D，点E是线段AB上一动点，连接BD，EO，若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则点E的坐标为 （−85，65）或（﹣2，1） ．
【分析】设E（t，12t+2），先利用一次函数解析式确定A（﹣4，0），B（0，2），利用勾股定理计算出BC＝25，由于CD∥OB，则∠EBO＝∠BCD，根据相似三角形的判定方法，当BECB=BOCD时，△BEO∽△CBD，利用相似比求出BE=5，利用两点间的距离公式得到t2+（12t+2﹣2）2＝5，解方程得到此时E点坐标；当BECD=BOCB时，△BEO∽△CDB，同样方法求此时E点坐标．
【解答】解：设E（t，12t+2），
当y＝0时，12x+2＝0，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
当y＝0时，y=12x+2＝2，
∴B（0，2），
∵C（4，4），CD⊥x轴，
∴CD＝4，BC=42+(4−2)2=25，
∵CD∥OB，
∴∠EBO＝∠BCD，
∴当BECB=BOCD时，△BEO∽△CBD，
即BE25=24，
解得BE=5，
∴t2+（12t+2﹣2）2＝5，
解得t1＝2（舍去），t2＝﹣2，
此时E点坐标为（﹣2，1）；
当BECD=BOCB时，△BEO∽△CDB，
即BE4=225，
解得BE=455，
∴t2+（12t+2﹣2）2=165，
解得t1=85（舍去），t2=−85，
此时E点坐标为（−85，65），
综上所述，E点坐标为（−85，65）或（﹣2，1）．
故答案为：（−85，65）或（﹣2，1）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，将△BOC沿直线BD翻折得到△BOF，BF交AD于点E，则S△BED＝ 381403 ．
【分析】由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，再由平行四边形的性质，可得BE＝ED，过点B作BG⊥AD于点G，在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，求出AG＝3，BG＝33，设ED＝x，则BE＝x，GE＝10﹣x'，在Rt△BEG中，由勾股定理得x2=(33)2+（10﹣x）2，解得x=12720，可求S△BED=12×DE×BG=381403．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠CBO＝∠OBE，
∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠CBE＝2∠OBE，
∵∠BEG＝∠OBE+∠BDE，
∴∠OBE＝∠ODE，
∴BE＝ED，
过点B作BG⊥AD于点G，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝6，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，
∴AG＝3，BG=36−9=33，
设ED＝x，则BE＝x，
∵BC＝13，
∴GE＝10﹣x'，
在Rt△BEG中，BE2＝BG2+GE2，
∴x2=(33)2+（10﹣x）2，
解得x=12720，
∴S△BED=12×DE×BG=12×12720×33=381403，
故答案为381403．
【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、应用勾股定理是解题的关键．
23．如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB的取值范围为 4﹣22≤PB≤4+22 ．
【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E．使AF＝EF，连接EP，BE．利用等腰直角三角形的性质得出△ABC∽△FBD，利用相似三角形的性质求出DF=2，再利用三角形中位线的性质求出PE＝22，由△ABF是等腰直角三角形，AF＝FE，得出BF垂直平分AE，进而求出BE＝4，继而利用三角形的三边关系即可求出答案．
【解答】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E．使AF＝EF，连接EP，BE．
∵△CBD和△ABF都是等腰直角三角形，
∴BCBD=BABF=2，∠CBD＝∠ABF＝45°，
∴∠CBD﹣∠CBF＝∠ABF﹣∠CBF，即∠FBD＝∠ABC，
∴△ABC∽△FBD，
∴ACDF=BCBD=2，
∵AC＝2，
∴DF=AC2=22=2，
∵AD＝DP，AF＝FE，
∴DF是△AEP的中位线，
∴EP＝2DF＝22，
∵△ABF是等腰直角三角形，AF＝FE，
∴BF垂直平分AE，
∴BA＝BE，
∵AB＝4，
∴BE＝4，
∴4﹣22≤PB≤4+22，
故答案为：4﹣22≤PB≤4+22．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的三边关系是解决问题的关键．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．某菜市场有A、B两类摊位，A类摊位数是B类摊位数的2倍．管理单位每月底按A类每个摊位50元、B类每个摊位80元收取当月管理费，每月可收取管理费4500元，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）分别求出该菜市场A、B两类摊位数；
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在十月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，A、B两类摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，十一月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，十一月份参加活动二的A类摊位的总个数将在十月份参加活动一的A类摊位个数的基础上增加2a%，每个摊位的管理费将会减少310a%；十一月份参加活动二的B类摊位的总个数将在十月份参加活动一的B类摊位个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少14a%．
①用含a的代数式分别表示出十一月份参加活动二的A、B两类摊位数；
②若参加活动二的这部分商户十一月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少500元，求a的值．
【分析】（1）设该菜市场有x个A类摊位，y个B类摊位，根据“A类摊位数是B类摊位数的2倍，且每月可收取管理费4500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出该菜市场A，B两类摊位数；
（2）①根据十一月份参加活动二与十月份参加活动一的摊位数之间的关系，可用含x的代数式表示出十一月份参加活动二的A，B两类摊位数；
②利用十一月份共缴纳的管理费减少的总额＝每个摊位管理费减少的金额×参加活动二的摊位数，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
【解答】解：（1）设该菜市场有x个A类摊位，y个B类摊位，
依题意得：x=2y50x+80y=4500，
解得：x=50y=25．
答：该菜市场有50个A类摊位，25个B类摊位．
（2）①依题意得：十一月份参加活动二的A类摊位有50×40%（1+2a%）＝20（1+2a%）个，B类摊位有25×20%（1+6a%）＝5（1+6a%）个；
②依题意得：50×310a%×20（1+2a%）+80×14a%×5（1+6a%）＝500，
整理得：3a2+100a﹣12500＝0，
解得：a1＝50，a2=−2503（不合题意，舍去）．
答：a的值为50．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出十一月份参加活动二的A，B两类摊位数；②找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y=32x中，可求得A（﹣2，﹣3），即可求得k＝6，解方程组y=32xy=6x，即可求出点B的坐标；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
（3）分两种情况：当△BOC∽△BPD时，OBBC=BPBD；当△BOC∽△BDP时；分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y=32x中，
得﹣3=32m，
解得：m＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
由y=32xy=6x，得x=−2y=−3或x=2y=3，
∴点B的坐标为（2，3）；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DCDB=CFBE，
∵BC＝2CD，BE＝3，
∴CDDB=13，
∴CF3=13，
∴CF＝1，
∴C（6，1），
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为BG+GC的最小值，
∵B′（﹣2，3），C（6，1），
∴B′C=(−2−6)2+(3−1)2=217，
∴BG+GC＝B′C＝217；
（3）存在，理由如下：
由（1）（2）可知，B（2，3），C（6，1），D（8，0），
∴OB=13，OC=37，BC＝25，
设P（t，32t），
∴PB=(t−2)2+(3−32t)2，PD=(t−8)2+94t2，BD＝35，
当△BOC∽△BPD时，OBBC=BPBD，即1325=(t−2)2+(3−32t)235，
解得t＝5（舍）或t＝﹣1；
当△BOC∽△BDP时，BPBD=BCOB，(t−2)2+(3−32t)235=2513，
解得t=8613（舍）或t=−3413；
∴P（﹣1，−32）或（−3413，−5113）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
26．1：2是一个很有趣的比．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在AB上截取点D，使AD＝AC，则AD：AB＝1：2，我们称点D为AB的“趣点”．
（1）若点E为AC的“趣点”（CE＜AE），连接DE，
①求证：S△ADES△ABC=12；
②在AB上方构造△EDF，使△EDF∽△CDB，设EF交CB于点Q．试探究：点Q是否为BC的“趣点”？说明理由．
（2）把（1）中的点E移动到与点A重合，②中条件不变，请在备用图中画出图形，若AB＝6，求CD•QF的值．
【分析】（1）①根据题意可得ADAB=12，ADAB=12，即ADAB=AEAC，证得△ADE∽△ABC，即可得证．’
②连接DQ，证明四边形CEDQ是平行四边形，即可解答．
（2）连接DQ，证明△ADQ≌△ACQ（SAS），△DQF∽△CDB，求出BD的值，根据QFDB=QDDC，列出算式即可解答．
【解答】（1）①证明：∵点D为线段AB的“趣点”，点E为线段AC的“趣点”（CE＜AE），
∴ADAB=12，ADAB=12，
∴ADAB=AEAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=(12)2=12．
②解：点Q是线段BC的“趣点”，理由如下：
如图，连接DQ，
∵AC＝AD，
∴∠2=∠ADC=180°−45°2=67.5°，
∴∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵△EDF∽△CDB，
∴∠4＝∠3＝22.5°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠1＝∠B＝45°，
∴DE∥BC，
∴∠6＝∠4＝22.5°，∠5＝∠3＝22.5°，
∴∠3＝∠6，∠4＝∠5，
∴MQ＝MC，ME＝MD，
∵DE∥BC，
∴∠7+∠4＝∠ACB＝90°，
∴∠7＝90°﹣22.5°＝67.5°＝∠2，
∴MC＝ME，
∴MC＝MD＝ME＝MQ，
∴四边形CEDQ是平行四边形，
∴DQ∥AC，
∴CQCB=ADAB=12，
∴点Q是为线段BC的“趣点”．
（2）解：如图，连接DQ，
∵△ADF∽△CDB，
∴∠4＝∠3＝22.5°，∠F＝∠B＝45°，
∴∠8＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠4，
在△ADQ和△ACQ 中，
AD=AC∠4=∠8AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ACQ（SAS），
∴∠ADQ＝∠ACQ＝90°＝∠BDQ，
∵∠8＝∠F+∠4＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠9＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠9＝∠3，
∴△DQF∽△CDB，
∴QFDB=QDDC，
∵∠BDQ＝90°，∠B＝45°，
∴DB＝QD，
∵点D为AB的“趣点”，AB＝6，
∴AD6=12，
∴AD＝32，
∴DB=QD=6−32，
∴QF6−32=6−32DC，
∴CD•QF＝（6﹣32）2＝54﹣362．
【点评】题考查相似图形的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
C
D
B
B