北师大版九年级上册数学期末学情调研模拟试卷（含答案解析）

这是一份北师大版九年级上册数学期末学情调研模拟试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了下列命题是假命题的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题。本大题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．4x﹣3＝0B．2−1x=0
C．﹣3x2+5x＝﹣6D．3x2﹣y2＝0
3．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外其它完全相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则口袋中白球的个数约为（ ）
A．25B．20C．30D．35
4．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段AC＝3，则线段AB的长是（ ）
A．1B．23C．2D．32
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）．已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的14，则点B′的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2）或（﹣3，﹣2）D．（2，3）或（﹣2，﹣3）
7．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A．ACCE=BDBFB．ACAE=BFDFC．ACDF=BDCED．ACBD=CEDF
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y=kx(k≠0)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
9．若﹣1是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则a的值为 ．
10．在反比例函数y=k−1x的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ．
11．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝30cm，BD＝15cm，AQ＝10m，则树高PQ＝ m．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，过D作ED⊥AB交AC于E点，则AE的长为 ．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝50°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBC的度数为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14．解方程（12分）
（1）2x2+3x＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0；
（3）3x2﹣6x﹣1＝0．
15．如图，在正方形ABCD中，延长BC至点E，使得AD：CE=1：2，连接AC，AE，AE交CD于点F．
（1）试探究△ACE的形状；
（2）求∠AFD的度数．
16．“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．青羊区某食品公司为了解市民对猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素菜馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对宽窄巷子社区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人；
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，其中有两个饺子分别包有一枚寓意吉祥如意的硬币，煮熟后，小明吃了两个饺子．用列表或画树状图的方法，求他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，作 BD⊥AC，∠BDF＝∠BAF＝∠C，BD＝3，CD＝1．
（1）求证：∠CBD＝∠EDA；
（2）求AB的长．
18．如图1，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y=kx的图象交于点C（m，4），与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）将线段AB沿x轴向右平移得到A1B1，当点B1在反比例函数y=kx（x＞0）图象上时，求四边形ABB1A1的面积．
（3）点C1是点C关于原点的对称点，以CC1为边长作等边△C1CP，Q点是平面上一点，若以C，Q，P，C1四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2＝ ．
20．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx(m≠0)相交于点A（﹣2，3）和点B（6，﹣1），则不等式kx+b＞mx的解集为 ．
21．从﹣2，1两个数中随机选取一个数记为m，再从﹣1，0，2三个数中随机选取一个数记为n，则m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根的概率是 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2=kx（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ．
23．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝7．点D为AB上的动点，DE∥AC交BC于点E，点F为AD的中点，则EF的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）成都第31届世界大学生夏季运动会（以下简称“成都大运会”）已在今年7月28日到8月8日在成都举行．某商家购进一批成都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件，进价为20元/件，调查发现，日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件，且20≤x≤60）之间满足一次函数关系，其部分数据如表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试问当售价为多少时，使得日销售利润为600元．
25．（10分）如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△AMC是以AC为斜边的等腰直角三角形．P是x轴上的动点，连接AP，以AP为斜边在其左侧构造等腰直角△ANP：
（1）求点M的坐标；
（2）过N作y轴垂线，垂足为D．当M、C、N共线时，在x轴上是否存在点Q，使得以N、P、Q为顶点的三角形与△ADN相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当CP=2CN时，求P点坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．4x﹣3＝0B．2−1x=0
C．﹣3x2+5x＝﹣6D．3x2﹣y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程4x﹣3＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程2−1x=0是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程﹣3x2+5x＝﹣6是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程3x2﹣y2是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．
3．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外其它完全相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则口袋中白球的个数约为（ ）
A．25B．20C．30D．35
【分析】利用频率估计概率可估计摸到白球的概率，然后求出这个口袋中白球的个数．
【解答】解：由题意可得，摸到白球的概率为0.4，
则这个口袋中白球的个数：50×0.4＝20（个）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
4．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段AC＝3，则线段AB的长是（ ）
A．1B．23C．2D．32
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成，
∴ABAC=ADAE=23，
即AB3=23，
解得AB＝2．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
【分析】利用特殊平行四边形的判定方法分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，所以A选项为真命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项为真命题；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以D选项为真命题；
故选：B．
【点评】本题考查了特殊平行四边形的判定方法，属于基础题，比较简单，解答的关键是牢记特殊平行四边形的判定方法．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）．已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的14，则点B′的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2）或（﹣3，﹣2）D．（2，3）或（﹣2，﹣3）
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，根据位似图形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC位似比为12，
∵位似中心是原点O，B（6，4），
∴点B′的坐标为（6×12，4×12）或（6×（−12），4×（−12）），即（3，2）或（﹣3，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A．ACCE=BDBFB．ACAE=BFDFC．ACDF=BDCED．ACBD=CEDF
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ACCE=BDDF，ACAE=BDBF，ACBD=CEDF，
∴选项A、B、C错误，不符合题意；D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y=kx(k≠0)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y=kx(k≠0)位于第一、三象限；
当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y=kx(k≠0)位于第二、四象限；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k＞0，图象经过第一、三象限，k＜0，图象经过第二、四象限是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
9．若﹣1是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则a的值为 0 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有一个根为2，将x＝2代入方程即可求得a的值．
【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，
∴（﹣1）2+（﹣1）﹣a＝0，
解得，a＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解得含义．
10．在反比例函数y=k−1x的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据反比例函数的图象可知k﹣1＜0时，图象的每一支上y都随x的增大而增大，由此求出k的取值即可．
【解答】解：∵反比例函数y=k−1x的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，
∴k﹣1＜0，
∴k＜1，
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
11．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝30cm，BD＝15cm，AQ＝10m，则树高PQ＝ 5 m．
【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求出PQ即可．
【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角，
∴BC∥QP，
∴△ABD∽△AQP，
∴ABAQ=BDQP，
∵AB＝30cm＝0.3m，BD＝15cm＝0.15m，AQ＝10m，
∴0.310=0.15PQ，
∴PQ＝5，
即树高PQ为5m，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，过D作ED⊥AB交AC于E点，则AE的长为 254 ．
【分析】根据勾股定理得出AB＝10，进而得出AD，连接BE，进而得出AE＝BE，利用勾股定理得出方程解答即可．
【解答】解：连接BE，
∵D为AB的中点，过D做ED⊥AB交AC于E点，
∴AE＝BE，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△ECB中，CE2+BC2＝BE2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x=254，
即AE=254，
故答案为：254．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AB＝10解答．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝50°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBC的度数为 80° ．
【分析】利用基本作图得到E点在AB的垂直平分线上，则EA＝EB，所以∠EBA＝∠A＝40°，再根据菱形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ADB＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABE即可．
【解答】解：由作法得E点在AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠BAD＝50°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝130°，
∵∠ABD＝∠ADB=12（180°﹣∠BAD）=12（180°﹣50°）＝65°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝130°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14．解方程（12分）
（1）2x2+3x＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0；
（3）3x2﹣6x﹣1＝0．
【分析】（1）先把方程左边提取公因式x，然后把一元二次方程转化成两个一元一次方程进行解答即可；
（2）利用十字相乘法，把一元二次方程的左边分解因式，把一元二次方程转化成两个一元一次方程进行解答即可；
（3）先把常数项﹣1移到等号右边，然后提取方程左边的公因式3，再进行配方，得到一个完全平方式的值，从而求出它的平方根，即得到两个一元一次方程，进行解答即可．
【解答】解：（1）2x2+3x＝0，
x（2x+3）＝0，
x1=0，x2=−32；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（3）3x2﹣6x﹣1＝0，
3x2﹣6x＝1，
3（x2﹣2x+1﹣1）＝1，
3（x﹣1）2﹣3＝1，
3（x﹣1）2＝4，
(x−1)2=43，
x−1=±233，
x1=1+233，x2=1−233．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握常见的几种解一元二次方程的方法．
15．（8分）如图，在正方形ABCD中，延长BC至点E，使得AD：CE=1：2，连接AC，AE，AE交CD于点F．
（1）试探究△ACE的形状；
（2）求∠AFD的度数．
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD：AC＝1：2，进而得CA＝CE，即可解决问题；
（2）结合（1）利用三角形外角定义求出∠E＝22.5°，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．
【解答】解：（1）△ACE是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠B＝∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴AD：AC＝1：2，
∵AD：CE=1：2，
∴CA＝CE，
∴△ACE是等腰三角形；
（2）∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠CAE+∠E＝∠ACB，
∴∠E+∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°，
∵∠FCE＝∠BCD＝90°，
∴∠AFD＝∠EFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．
16（8分）．“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．青羊区某食品公司为了解市民对猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素菜馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对宽窄巷子社区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人；
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，其中有两个饺子分别包有一枚寓意吉祥如意的硬币，煮熟后，小明吃了两个饺子．用列表或画树状图的方法，求他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率．
【分析】（1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；
（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求出A组和C组所占的百分比，将两幅不完整的图补充完整即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是60÷10%＝600（人）；
故答案为：600；
（2）A组所对应的百分比是180600×100%＝30%，
C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是120600×100%＝20%，
将两幅不完整的图补充完整如下：
（3）假设C、D饺含有硬币，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小明吃到C、D的结果有2个，
∴他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率为212=16．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．解答本题的关键是掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17（10分）．如图，△ABC中，AB＝AC，作 BD⊥AC，∠BDF＝∠BAF＝∠C，BD＝3，CD＝1．
（1）求证：∠CBD＝∠EDA；
（2）求AB的长．
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
（2）设AD＝x，则AC＝AD+CD＝AB＝x+1，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠C+∠CBD＝∠EDA+∠BDF，
∵∠BDF＝∠C，
∴∠CBD＝∠EDA；
（2）解：设AD＝x，则AC＝AD+CD＝AB＝x+1，
∵BD＝3，
∴x2+32＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴AB＝x+1＝5．
【点评】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握勾股定理．
18（10分）．如图1，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y=kx的图象交于点C（m，4），与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）将线段AB沿x轴向右平移得到A1B1，当点B1在反比例函数y=kx（x＞0）图象上时，求四边形ABB1A1的面积．
（3）点C1是点C关于原点的对称点，以CC1为边长作等边△C1CP，Q点是平面上一点，若以C，Q，P，C1四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．
【分析】（1）将C（m，4）代入y＝x+2可得C（2，4）代入y=kx 可得反比例函数表达式为y=8x
（2）由y＝x+2可得B（0，2），A（﹣2，0），由平移可得四边形ABB1A1是平行四边形，设B1（n，2），将B1（n，2）代入y=8x 中得出B1（4，2），根据平移可得A1（2，0），进而根据平行四边形的面积公式，即可求解；
（3）根据关于原点对称的点的特征得出C1（﹣2，﹣4），设P（xp，yp），Q（xq，yq），根据等边三角形的性质以及勾股定理建立方程，得出P1（43，﹣23），P2（﹣43，23），进而根据平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）将C（m，4）代入y＝x+2可得：
m+2＝4，
∴m＝2，则C（2，4）．
将C（2，4）代入y=kx 可得：
k＝8，
∴反比例函数表达式为y=8x；
（2）由y＝x+2，当x＝0，y＝2；当y＝0，x＝﹣2，
∴B（0，2），A（﹣2，0），
由平移可得四边形ABB1A1是平行四边形，
设B1（n，2），将B1（n，2）代入y=8x 中，得：
n＝4，
∴B1（4，2），则B（0，2）向右平移4个单位得到B1（4，2），
将A（﹣2，0）向右平移4个单位得到A1（2，0），
∴s▱ABB1A1=4×2＝8；
（3）∵C1是C（2，4）关于原点的对称点，
∴C1（﹣2，﹣4），
设P（xp，yp），Q（xq，yq），
由等边△C1CP可得(xp+2)2+(yp+4)2=(2+2)2+(4+4)2(xp−2)2+(yp−4)2=(2+2)2+(4+4)2，
解得：xp1=3yp1=−23或xp2=−3yp2=23，
∴P1（43，﹣23），P2（﹣43，23）；
①当P1（43，﹣23）时，
Ⅰ、以P1Q与C1C为对角线，
∴43+xq=2+(−2)−23+yq=4+(−4)，
解得：xq=−43yq=23．
∴Q1(−43，23)；
Ⅱ、以P1C1与QC为对角线，同理可得，Q2（﹣4+43，﹣8﹣23）；
Ⅲ、以P1C与QC1为对角线，同理可得，Q3（4+43，8﹣23）；
②当P2（﹣43，23）时，
同理可得Q4（43，﹣23），Q5（﹣4﹣43，8+23），Q6（4﹣43，8+23），
综上所述：Q1(−43，23)或Q2（﹣4+43，﹣8﹣23）或Q3（4+43，8﹣23）或Q4（43，﹣23）或Q5（﹣4﹣43，8+23）或Q6（4﹣43，8+23）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，一次函数与反比例函数交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2＝ 52 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数得，x1+x2=32，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1•x2=32+1=52．
故答案为：52．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
20．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx(m≠0)相交于点A（﹣2，3）和点B（6，﹣1），则不等式kx+b＞mx的解集为 x＜﹣2或0＜x＜6 ．
【分析】不等式kx+b＞mx的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx(m≠0)相交于点A（﹣2，3）和点B（6，﹣1），
∴不等式kx+b＞mx的解集为：x＜﹣2或0＜x＜6．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜6．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
21．从﹣2，1两个数中随机选取一个数记为m，再从﹣1，0，2三个数中随机选取一个数记为n，则m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根的概率是 23 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根（m2﹣4n＞0）的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：和树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根（m2﹣4n＞0）的结果有4种，
∴m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根的概率为46=23，
故答案为：23．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及根的判别式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2=kx（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ﹣1≤x＜0或x≥2 ．
【分析】根据两个函数的图象及两个交点坐标的横坐标直接写出不等式的解集即可．
【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：
当y1≤y2时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2．
故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键．
23．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝7．点D为AB上的动点，DE∥AC交BC于点E，点F为AD的中点，则EF的最小值为 212 ．
【分析】延长EF，CA构造平行四边形DEAG，然后过D作AC垂线DH，BD＝DE，AG＝DE，∠BAG＝60°，设BD＝DE＝AG＝x，AD长度可以用x表示，DH，AH可以用AD表示出来，然后求出DG，也就是AE，过E作ER垂直AC，ER＝DH，可以求出AR，然后就可以求出EG．然后利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，延长EF，CA交于点G，连接DG，AE，
∵点F为AD的中点，
∴AF＝DF，
∵DE∥AC，
∴∠DEF＝∠AGF，∠EDF＝∠GAF，
∴△EDF≌△GAF（AAS），
∴EF＝GF，
∵AF＝DF，
∴四边形DEAG是平行四边形，
∴AG＝DE，DG＝AE，
过D作DH⊥AC于点G，过E作ER⊥AC于点R，得矩形DHRE，
∴ER＝DH，
在△ABC中，∠BAC＝120°，
∵AB＝AC＝7，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C＝30°，
∴∠DEB＝∠B＝30°，
∴DB＝DE，
∴∠FDE＝30°+30°＝60°，
∴∠BAG＝60°，
设AH＝x，
∴AD＝2AH＝2x，
∴DH=3AH=3x＝ER，
∴BD＝DE＝AG＝7﹣2x，
∴GH＝AG﹣AH＝7﹣3x，
∴DG2＝DH2+GH2＝3x2+（7﹣3x）2，
∴AE2＝DG2＝3x2+（7﹣3x）2，
∴AR2＝AE2﹣ER2＝3x2+（7﹣3x）2﹣3x2＝（7﹣3x）2，
∴AR＝7﹣3x，
∴GR＝AH+GH+AR＝x+2（7﹣3x）＝14﹣5x，
∴EG2＝ER2+GR2＝3x2+（14﹣5x）2＝28（x2﹣5x+7），
∴EG＝27(x−52)2+214，
∵EF=12EG，
∴EF的最小值为212．
故答案为：212．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．成都第31届世界大学生夏季运动会（以下简称“成都大运会”）已在今年7月28日到8月8日在成都举行．某商家购进一批成都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件，进价为20元/件，调查发现，日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件，且20≤x≤60）之间满足一次函数关系，其部分数据如表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试问当售价为多少时，使得日销售利润为600元．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）利用销量×每件利润＝总利润，得出一元二次方程，解答即可得解．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），代入数值得：
30k+b=6040k+b=40，
解得：k=−2b=120，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）设当售价为x元时，由题意得：
（﹣2x+120）（x﹣20）＝600，
化简得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50，
∴售价为30元/件或50件/元时，使得日销售利润为600元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键．
25．如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y=32x中，可求得A（﹣2，﹣3），即可求得k＝6，解方程组y=32xy=6x，即可求出点B的坐标；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
（3）分两种情况：当△BOC∽△BPD时，OBBC=BPBD；当△BOC∽△BDP时；分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y=32x中，
得﹣3=32m，
解得：m＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
由y=32xy=6x，得x=−2y=−3或x=2y=3，
∴点B的坐标为（2，3）；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DCDB=CFBE，
∵BC＝2CD，BE＝3，
∴CDDB=13，
∴CF3=13，
∴CF＝1，
∴C（6，1），
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为BG+GC的最小值，
∵B′（﹣2，3），C（6，1），
∴B′C=(−2−6)2+(3−1)2=217，
∴BG+GC＝B′C＝217；
（3）存在，理由如下：
由（1）（2）可知，B（2，3），C（6，1），D（8，0），
∴OB=13，OC=37，BC＝25，
设P（t，32t），
∴PB=(t−2)2+(3−32t)2，PD=(t−8)2+94t2，BD＝35，
当△BOC∽△BPD时，OBBC=BPBD，即1325=(t−2)2+(3−32t)235，
解得t＝5（舍）或t＝﹣1；
当△BOC∽△BDP时，BPBD=BCOB，(t−2)2+(3−32t)235=2513，
解得t=8613（舍）或t=−3413；
∴P（﹣1，−32）或（−3413，−5113）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
26．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△AMC是以AC为斜边的等腰直角三角形．P是x轴上的动点，连接AP，以AP为斜边在其左侧构造等腰直角△ANP：
（1）求点M的坐标；
（2）过N作y轴垂线，垂足为D．当M、C、N共线时，在x轴上是否存在点Q，使得以N、P、Q为顶点的三角形与△ADN相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当CP=2CN时，求P点坐标．
【分析】（1）先证△MEC≌△AFM，设MF＝a，根据全等三角形的性质求a的值即可；
（2）过点N作Q1⊥x轴，AN交x轴于点Q2，证△AND∽△Q1，△AND∽△PQ2N，再利用待定系数法分别求出直线MN和直线AN解析式，最后即可求出Q1，Q2坐标；
（3）取AP中点E，AC中点F，设CN＝a，CP=2a，证明△AME∽△ACN，利用相似三角形的性质证明EM＝EF，再求直线MF的解析式，最后求解即可．
【解答】解：（1）如图，相连Rt△MEC，Rt△AMF，
∵AM＝CM，∠AMC＝90°，
∴△MEC≌△AFM（HL），
设MF＝a，
∴CE＝a，OE＝2+a，
∴ME＝AF＝2+a，
∴OA＝23，
∴2+a+a＝23，
∴a=3−1，
∴M（3+1，3+1）；
（2）如图，M、C、N共线，过点N作NQ1⊥x轴，AN交x轴于点Q2，
由题意可得∠ADN＝∠PQ1N＝90°，∠ANP＝∠ANQ1+∠PNQ1＝90°，∠DNQ1＝∠AND+∠ANQ1＝90°，
∴∠AND＝∠PNQ1'
∴∠AND＝PNQ1，∠DAN＝∠NPQ2，
∴△AND∽△PNQ2，
因此在x轴上是否存在点Q，使得以N、P、Q为顶点的三角形与△ADN相似，分别为Q1，Q2，
∵△ANP是等腰直角三角形，
∴AN＝NP，
∴△AND≌PNQ1（SAS），
∴ND＝Q1，
由等边△ABC的边长为4，可得C（2，0），
由（1）可得M（3+1，3+1），
设直线MN解析式为y＝k1+b1，
将C（2，0）和M（3+1，3+1）代入可得
3+1=(3+1)k1+b10=2k1+b1，
解得k1=2+3b1=−4−23，
∴直线MN解析式为y＝（2+3）x﹣4﹣23，
设N（m，﹣m），则﹣m＝（2+3）m﹣4﹣23，
解得m＝1+33，
∴Q1（1+33，0），N（1+33，﹣1−33），
∵AO=AB2−BO2=42−22=23，设直线AN解析式为y＝k2+b2，
将A（0，23）和N（1+33，﹣1−33）代入可得
−1−33=(1+33)k2+b223=b2，
解得k2=2−33b2=23，
∴直线MN解析式为y＝（2﹣33）x+23，
当y＝0时，解得x=18+4323，
∴Q2（18+4323，0）；
（3）如图，作等腰直角三角形ACD，DL⊥CP于L，
∴CD＝4，∠DCL＝30°，
DL＝2，CL＝23，
△ANC∽△APD，且相似比是1：2，
∴PD=2NC＝PC，
∴PC=23CL=433，
∴P（2+433，0）．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求 一次函数解析式，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握相关定理并作出辅助线是关键，难度较大．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/3 17:09:10；用户：初中数学；邮箱：lngyun01@xyh.cm；学号：39504563x（元/件）
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
C
B
C
D
D
x（元/件）
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y（件）
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