第05讲 函数的最值与导数-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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一、函数的最值
1、函数在区间上有最值的条件：
如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2、求函数在区间上的最大（小）值的步骤：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
二、恒成立和有解问题
1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
3、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
4、若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
5、对于任意的，总存在，使得；
6、对于任意的，总存在，使得；
7、若存在，对于任意的，使得；
8、若存在，对于任意的，使得；
9、对于任意的，使得；
10、对于任意的，使得；
11、若存在，总存在，使得
12、若存在，总存在，使得．
【考点一：求不含参数的函数最值】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
二、填空题
3．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知函数，则的最小值是 .
4．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在上的最小值为 ，最大值为 ．
三、解答题
5．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，.
(1)求a；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
6．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，求函数的最小值；
【考点二：求含参数的函数最值】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·期中）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二下·陕西榆林·期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、解答题
3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
4．（23-24高二下·山东济南·期末）函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.
5．（23-24高二下·上海·期末）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间和最值；
(2)当时，求函数在上的最小值.
【考点三：已知函数的最值求参数】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间内有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
3．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（ ）
A．1B．2C．eD．
4．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数，若，且的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（22-23高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 .
6．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为 .
【考点四：与函数最值有关的恒成立（有解）问题】
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
4．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 .
三、解答题
5．（23-24高二下·广东阳江·期末）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若恒成立，求实数的取值集合.
6．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知.
(1)当时，求函数的最值;
(2)若，求实数的取值范围.
【考点五：函数极值、最值的综合应用】
一、单选题
1．（23-24高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．1C．3D．5
2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
3．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（ ）
① 当时，在上单调递增；
② 当时，有两个极值点；
③ 当时，没有最小值．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
6．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有
A．有唯一零点
B．无最大值
C．在区间上单调递增
D．为的一个极小值点
8．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点，
B．有三个零点
C．点是的对称中心
D．在区间上有最大值，则a的取值范围为
一、单选题
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
3．（22-23高三上·广西柳州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为0，则（ ）
A．0B．C．1D．e
4．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·河南·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ）
A．B．
C．在上单调递减D．
8．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）已知函数，则（ ）
A．当时，是上的减函数
B．当时，是的极小值点
C．当时，取到最小值
D．当时，恒成立
三、填空题
9．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为 .
四、解答题
11．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数.曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求的最小值.
12．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
13．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围．
14．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立，求a的取值范围.
15．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.
16．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：求不含参数的函数最值】
【考点二：求含参数的函数最值】
【考点三：已知函数的最值求参数】
【考点四：与函数最值有关的恒成立（有解）问题】
【考点五：函数极值、最值的综合应用】
模块四 小试牛刀过关测
1.理解函数的最值的概念,了解函数的最值与极值的区别与联系,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
2.会用导数求在给定区间上函数的最值,提升数学运算和直观想象素养.
3.体会导数在解决实际问题中的作用,能利用导数解决简单的实际问题,提升数学建模及数学运算的核心素养.