第08讲 导数中构造函数的应用-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1、同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln?ex(x?R),x=eln?x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2、对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3、常见的构造函数有
（1）与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
二、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
三、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
（3）对于，构造．
模型11.（1） （2）
【考点一：构造函数比较大小】
一、单选题
1．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三个对数值的特点，构造函数，求导得到函数的单调性，利用函数在上的单调性和对数运算性质，化简计算即可比较大小.
【详解】设，函数定义域为，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减.
因，且，故，即，
即，则，故.
故选：A.
2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较，构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较的大小，进而可比较的大小，即可得解.
【详解】因为，
所以，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，即，所以，
则，即，
综上所述，.
故选：A.
3．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数的最大值为a，令，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数求出，由正弦函数、对数函数性质可得，再构造函数比较的大小.
【详解】由，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则，于是，即，因此，
由，得，
所以a，b，c的大小关系是.
故选：A
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得.
【详解】记，则，
可知在上单调递增，则，即，
可得；
又因为，则，即；
所以.
故选：B.
5．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设分析函数的单调性，可得的大小关系；设函数，分析函数单调性，可得的大小.
【详解】设，（），因为，
由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
所以，
又，，所以.
再设，（），因为，
由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
所以.
又，即.
故.
故选：A
【考点二：构造函数解不等式】
一、单选题
1．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，进而由单调性解不等式即可.
【详解】构造函数，，
，即函数在R上单调递减，
等价于，解得.
即的解集为.
故选：D
2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造，求导得到其单调性，并结合，得到时，，从而求出解集.
【详解】设，
因为，
所以，
故在上单调递减，
又，故，
故当时，，当时，，
，
故的解集为.
故选：A
3．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.
【详解】设，，
所以函数单调递增，
，
即，得，所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，根据题意可得函数为偶函数以及其单调性，再分以及讨论即可得出答案．
【详解】设，则，
由于当时，，
则当时，，在单调递减，
又为奇函数，,则，则函数为偶函数，
可得函数在上单调递增，
又，则，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得；
综上，不等式的解集为,,．
故选：B．
5．（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，根据导数研究单调性，结合已知将问题化为，再根据的单调性即可求出结果.
【详解】设，则，
对任意实数x，有，
所以，则在上单调递减.
因为为奇函数，且的定义域为R，
所以，所以，所以.
因为，所以求不等式的解集，
即求的解集，即求的解集，
因为在上单调递减，所以的解集为，
所以不等式的解集为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构造函数，根据题意，可得其单调性，从而求解不等式.
6．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解.
【详解】令，则，
由题意可得，当时，，即在上单调递增，
由，则，
即，故为偶函数，故在上单调递减，
则不等式可化为：，
即，则有，即，
即，即，
解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性.
【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】
一、单选题
1．（24-25高二上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】利用同构可得，再结合导数讨论新函数的单调性后可得的最小值.
【详解】因为，故，
而为0,+∞上的增函数，故即，故，
设，则，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故，
故选：B.
2．（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得，，同构函数由得：，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可.
【详解】已知，由得，，
构造函数则是R上的增函数，则由得：，
即，令， ，
当则单调递减，
当，则单调递增，
∴，则又则.
故选：C.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若存在实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】根据可得，构造函数和，求导即可根据函数的单调性求解最值.
【详解】因为，所以，所以，所以，
设函数，则，
设，由于均为上的减函数，易知φx在区间内单调递减，且，
故当时，；当时，．
所以hx在区间上单调递增，在区间1,+∞上单调递减．
所以，故．
故选：C
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数hx；
(3)利用导数研究hx的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
4．（23-24高二下·河南安阳·期中）若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的不等式，利用同构的思想，并按分类讨论，构造函数，利用导数探讨单调性转化为恒成立的不等式求解.
【详解】由，得，当时，，当时，，
不等式恒成立，当时，令函数，求导得，
当时，，函数在上单调递增，而当时，，
不等式，即，于是，
因此，恒成立，令，求导得，
则函数在上单调递增，，于是，则，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.
【详解】由已知有，即，即，
因为，令，，易知在上单调递增，
因，所以，故，即.
所以，令，可得，
又因在上小于零，故y在单调递减，
在上大于零，故y在单调递增，
故当时，y取极小值也是最小值为e.
故选：A
6．（2024·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（ ）
A．0B． C．eD．1
【答案】D
【分析】由题意得对恒成立，令，利用导数求得，即，再令，利用导数求出的最小值，可求出的取值范围，从而可求出的最大值.
【详解】由，得，
所以对恒成立，
令，则在上单调递增，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，即
令，
则在上单调递增，
由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，所以，
所以的最大值为1.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是通过对原不等式变形，将问题转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
【考点四：构造函数证明不等式】
一、解答题
1．（24-25高二下·全国·课堂例题）当时，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】移项构造函数，利用导函数求解函数的单调性进而得证不等式.
【详解】令，
则
，
，，又因为，则恒成立，
当时，f?x>0，即在1,+∞上单调递增，
，
即．
2．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知函数 在处的切线方程为．
(1)求的值;
(2)求证：恒成立．(参考数据：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数几何意义可以求解；
（2）利用导数求出函数在上的最小值，构造函数结合单调性求解即可得证.
【详解】（1）已知函数 在x=0处的切线方程为．
由 ；
（2）
令 则 恒成立，
所以 在上单调递增．
又
所以 存在唯一的零点，
且满足 ①
当x变化时， f(x)和f'(x)的变化情况如下：
所以
将①带入上式，得
令，并构造函数
则有
所以在上单调递增．
所以
即 所以f(x)>0恒成立．
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性.
（2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）设，求导，分析函数单调性，求函数hx的最小值，得到最小值大于或等于0即可.
（2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.
（3）首先由条件同构方程，得到，再利用变量转化，变形，并构造函数，利用导数求函数的最大值.
【详解】（1）设，
则，
由??x>0，得；由??x0；由??x0；当时，f?x