浙江省台州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份浙江省台州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了02， 已知集合，则， 函数的定义域是， “”的一个充分不必要条件是， 已知，则， 已知角的终边经过点，则等内容，欢迎下载使用。
2023.02
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：D.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，求解即可.
【详解】依题意可得，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
3. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形弧长及面积公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，则，解得，
所以扇形面积为．
故选：C.
4. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式得或，找“”的一个充分不必要条件，即找集合 或的真子集，从而选出正确选项.
【详解】由解得或，
找“”的一个充分不必要条件，即找集合或的真子集，
或，
“”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
5. 已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可.
【详解】由指数函数的图象和性质可知：，
若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；
若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，
由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.
故选：C
6. 某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为（ ）
A. 36B. 35C. 34D. 33
【答案】B
【解析】
【分析】利用韦恩图运算即可.
【详解】
如图所示，设两种项目都参加的有人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B，
则数学组共有人，显然人.
故选：B
7. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先证明对于，均有，即可判断.
【详解】对于，均有证明如下：
因为，所以，，
所以
，
所以，，
又，所以.
故选：B
8. 已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造新函数，根据根的情况分类讨论可求a的取值范围.
【详解】设，因为时，不合题意，故.
，即；
若，即时，在区间上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，舍.
若，即时，在区间上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，舍.
若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而只需，即，解得，即.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得，结合诱导公式确定正确答案.
【详解】角的终边经过点，，
，，，
，，故AB正确、CD错误，
故选：AB
10. 已知，都是定义在上的增函数，则（ ）
A. 函数一定是增函数B. 函数有可能是减函数
C. 函数一定是增函数D. 函数有可能是减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据单调性的定义即可判断各选项.
【详解】对于A，设，设，则
又由都是定义在上的增函数，则且，
所以，故函数一定是增函数，A正确；
对于B，设，此时为减函数，B正确；
对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；
对于D，当时，函数为减函数，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数则下列选项正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数值域为
C. 方程有两个不等的实数根
D. 不等式解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项.
【详解】
画出的图象，如上图所示.
令，解得或，
所以的图象与轴交于.
对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；
对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；
对于C，，，
由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；
对于D，由图象可知，当时，，
所以，由可得.
令，解得或；
令，解得或，
所以，由图象可知，不等式解集为，D错.
故选：BC
12. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的图象关于点成中心对称图形，则以下能成立的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】AC
【解析】
【分析】直接代入计算得，再利用其奇函数的性质得到方程组，对赋值一一分析即可.
【详解】令
，
由得，
当时，得，，则A正确，B错误；
当时，得，，则C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 计算：________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.
14. 把函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为__________.
【答案】
【解析】
【详解】解析过程略
15. 定义在上的函数满足，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分别令，得到，在令，求得，进而求得，即可求得的值.
【详解】因为，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得，
所以，
又因为，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得，
由，，可得，
又因为，所以，所以.
故答案为：
16. 函数的最小值为0，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由，根据题意得到当时，的最小值为，利用三角函数的性质，得到不等式组，进而求得的最小值.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为的最小值为，
所以当时，的最小值为，
因为，所以，所以，
所以，
又因为，所以当时，，能使得有最小值，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由同角的平方关系即可得到结果；
（2）根据题意，由二倍角公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由，，可得，所以；
【小问2详解】
因，且，
∴．
18. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案；
（2）由，得，利用分类讨论，考虑和两种情况，分别求出实数a的取值范围，即可得到本题答案.
【小问1详解】
若，则，
因为，所以；
【小问2详解】
由题，得，由，得，
若，则，得，
若，即时，则有，或，得或，
综上，
19. 已知函数的图象最高点与相邻最低点N的距离为4．
（1）求函数的解析式；
（2）设，若，求函数的单调减区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，，，从而可得，则，再由求得，从而可求得解析式；
（2）由（1）可得，化简得，由可得，从而令，求解即可得减区间.
【小问1详解】
由题意得，，，即，
所以，则，
又，得，，
所以；
【小问2详解】
，
所以
，
由，，令，则，
所以的单调递减区间为．
20. 已知函数，且．
（1）若，求方程的解；
（2）若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设，从而可得，得，，求解即可；
（2）由题意可得，设，则，，解法一讨论、、、判断单调性，从而求解；解法二，参变分离后，结合二次函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
当时，
设，则，即，得，，
所以方程解为：，；
【小问2详解】
因为，所以当或时，的最小值为9，
故．
设，则，，
若，在上单调递增，
则，故，不合舍去．
若，任取，则，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，在上单调递增，，，不合舍去；
当时，，，即；
当时，在上单调递减，，，可得，
综上，．
另解：可得，即在时恒成立，
而在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，最大值为9，所以．
21. 某工厂需要制作1200套桌椅（每套桌椅由1张桌子和2张椅子组成）．工厂准备安排100个工人来完成，现将这100个工人分成两组，一组只制作桌子，另一组只制作椅子．已知每张桌子和每张椅子制作的工程量分别为7人1天和2人1天若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？
【答案】安排63或64人制作桌子工期最短
【解析】
【分析】设x人制作桌子，则人制作椅子，分别得到完成桌子和完成椅子的时间，再得到全部桌椅完成时间的函数表达式，求出桌子和椅子完成时间相同时的值，从而得到分段函数表达式，再求出其最小值即可.
【详解】设x人制作桌子，则人制作椅子．
由已知，完成桌子时间为，完成椅子时间为，
全部桌椅完成时间为
由，得，
∴且，因为，
当，单调递减，最小值为，
当，因为在上单调递减，且，
所以在单调递增，
最小值为，则，
所以安排63或64人制作桌子工期最短．
22. 已知函数．对于任意的，都有．
（1）请写出一个满足已知条件的函数；
（2）判断函数的单调性，并加以证明；
（3）若，求的值域．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）只需找到符合题意的函数解析式即可；
（2）设任意的且，依题意可得，即可得解；
（3）设，则，求出，即可得到的解析式，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
不妨设，则，符合题意；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
设任意的且，则，
所以，
即，所以在上单调递增；
【小问3详解】
由（2）知，在上单调递增，
设，则，则，
设，则在上单调递增，
又，故，，满足，
∴
，
∵，∴值域为．