2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习05面积转化问题（含解析）

这是一份2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习05面积转化问题（含解析），共24页。试卷主要包含了平行转化法，三角形面积之比，面积差等内容，欢迎下载使用。
一、平行转化法（等积变形）：
二、三角形面积之比：
一、平行转化法：
例1．（2024•酒泉二模）
1．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段上时，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
对应练习：
2．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一动点，若的面积是6，求点P的坐标．
二、三角形面积之比：
例2．（2024•济宁二模）
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标．
对应练习：
（2024•单县三模）
4．已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标；
（2023•怀远县校级模拟）
5．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，P是第一象限内抛物线上的点，连接交于点M，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024春•昆都仑区校级月考）
6．如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF∶S△CDF＝3∶2时，求点D的坐标．
（2024•济宁）
7．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（2024•东营）
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，连接，交于点F，求的最大值．
（2024•湖北模拟）
9．如图，抛物线与x轴交于点和点B，交y轴负半轴于点C，对称轴在y轴的右边，，点P是直线下方抛物线上的点，连接交于点E，连接，记的面积分别为．当抛物线的对称轴为直线时．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求此时点P的坐标；
三、面积差
例3．（2023•武汉模拟）
10．如图1，抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，点D为抛物线上第四象限的动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，直线交于点P，连接，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．
对应练习：（2024•资阳）
11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记的面积分别为，，求的最大值；
参考答案与解析
参考答案：
1．(1)
(2)点
【分析】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，及面积问题，
（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线的表达式，根据题意得，则，连接，过点P作y轴的平行线交于点E，设，则，有，当时，取的最大值，即可求得，那么，当时，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将,代入上式得：，
，
则抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
将，，代入中，
，
解得，
∴直线的表达式为，
∵
∴，则，
连接，过点P作y轴的平行线交于点E，如图，
设，则，
则
，
∴当时，取的最大值，
∴，
当时，，
∴．
2．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解方程组等知识点，
（1）由抛物线解析式可得抛物线经过定点，从而可得a的值，进而即可得解．
（2）过点P作的平行线交x轴于点H，连接，求出直线解析式为，直线解析式为，联立解方程组即可得解；
熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】（1）∵抛物线，
∴对称轴为直线，令，
解得，
，
又，
，
代入解析式得，
；
（2）过点P作的平行线交x轴于点H，连接，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，
解得，
或．
3．（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的最大值为，此时P（2，4）．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的交点式解析式为y=a（x+2）（x﹣4），由OC=2OA，OA=2，解得点C的坐标，再代入点C（0，4），利用待定系数法解题即可；
（2）作PE⊥x轴于E，交BC于F，可证明△CMD∽△FMP，再由相似三角形对应边成比例解得m=，接着求得CD的长，设P（n，﹣n2+n+4），F（n，﹣n+4），代入线段的比值，解得PF 的长，用配方法化为顶点式，利用二次函数的性质即可解得最大值．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
∴设y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），
代入解析式得到a=﹣，
∴y=﹣（x+2）（x﹣4），
即y=﹣x2+x+4；
（2）如图，作PE⊥x轴于E，交BC于F，
∵CD//PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m=，
∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∴CD=4-1=3，
设BC的解析式为y=dx+e，代入点B（4，0）, C（0，4），得
，
，
BC的解析式为，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），且0＜n＜4，
∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，
∴m==﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
4．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，等腰直角三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得的坐标，进而得出，根据得出则点到轴的距离为2，即可得出点的坐标；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，得，
解得：，
，
令，则，
，
，
，
，设点到的距离为，
，
，
过点作轴于点，则是等腰直角三角形，
，
，
，
．
5．(1)
(2)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点作交轴于点，求得点的坐标为，求得直线的解析式为，据此求解即可；
【详解】（1）解：把点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
如图，过点P作交x轴于点Q，
，
，
设中边上的高为h，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴点的坐标为，由抛物线的解析式知，
设直线的解析式为，把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
，
∴设直线的解析式为，
代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线，
∴联立得，解得：，
把代入，解得，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质，三角形的面积，一次函数解析式，相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)
【分析】（1）c＝3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；
（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，则OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，则DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．
【详解】解：（1）∵OB＝OC＝3．
∴c＝3，点B(3，0)，
将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交AB于点M，
S△COF∶S△CDF＝3∶2，则OF∶FD＝3∶2，
∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，则DM＝CO＝2，
由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x＋3，
设点D(x，﹣x2＋2x＋3)，则点M(x，﹣x＋3)，
DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，
解得：x＝1或2，
故点D(1，4)或(2，3)．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键．
7．(1)，
(2)①该二次函数的解析式为：；，
②存在，P点横坐标为：或或
【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得；
（2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，；
②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵的图像经过，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为：，
当时，，
解得，，
∴， ．
②设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
当点P在点A右侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴点P横坐标为或；
当点P在点A左侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴点P横坐标为，
综上所述，P点横坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识．
（1）将点和点坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果；
（2）先求出直线的解析式，进而表示出的长，进一步得出结果；
（3）在（2）的条件下，当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）解：抛物线与y轴交于点，
设直线的函数表达式为：，代入，两点得，
解得，
直线的函数表达式为：，
∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，
，
，
；
（3）解：如图1，
当时，作，交于，
∴，
，
把代入得，，
，
，
当时，，
，
∴．
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数的对称性质求得，利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交于点，设，由，证明，得到，求得，利用二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
∴
∵，
∴，
∵点在轴负半轴上，
，即，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点作轴，交于点，
设，
，
，
，
，
，
，
，
当时，的值最大，
此时．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及用待定系数法求解抛物线的解析式和一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，面积最值问题等知识内容，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．(1)
(2)直线AD的表达式为：
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式、一次函数与二次函数的性质，
（1）由二次函数，令，则，则，又由得到，，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由和得到当达到最大值时，的值最小，则当点D为抛物线的顶点时，达到最大值．利用待定系数法求出直线的解析式即可；
【详解】（1）解：由二次函数，令，则，
∴．
又∵，
∴，，
代入得，
解得，
∴抛物线的解析式是；
（2）．
∵，为定值，
∴当达到最大值时，的值最小．
∵，
∴点D为抛物线的顶点时，达到最大值．
设直线的解析式为，
又，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
11．(1)
(2)的最大值为
【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可；
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
，
把，代入函数解析式得：，
解得：；
．
（2）解：，
∴设直线的解析式为：，
把代入得：，
，
设，则：，
，
，
，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数最值，二次函数与三角形面积等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
平行转化法1：条件：PMAC
结论：S△PAC=S△MAC
平行转化法2：条件：PMAB
结论：S△PAB=S△MAB
1．底相等，面积比=高之比
2．高相等，面积比=底之比