2025年中考数学二次函数压轴题专题练习03线段问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二次函数压轴题专题练习03线段问题（含解析），共23页。试卷主要包含了横竖线段，斜线段等内容，欢迎下载使用。
一、横竖线段
二、斜线段（化斜为直）
一、横竖线段
例1．（2024秋•绥中县期中）
1．如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值．
对应练习：
2．如图，抛物线与轴交于点，两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出线段的长（用含有的代数式表示）；
(3)若，求的值；
（2024•咸丰县模拟）
3．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)若，求m的值．
4．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点．
(1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值；
(2)若，求点P的坐标．
（2024秋•西岗区校级月考）
5．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数和直线的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q，交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标
例2．（2024•重庆模拟）
6．如图，抛物线交轴于点、点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标．
对应练习：
7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
二、斜线段
例3．（2024•江汉区校级模拟）
8．已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连交线段于点E，且，求点D的坐标；
对应练习：
（2024•绥化三模）
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，B两点，顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线与相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标．
（2024•达州模拟）
10．如图，抛物线(为常数)与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，点的坐标为．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)若点为轴上任意一点；在(2)的结论下，当的值最小时，请直接写出点的坐标和此时的最小值．
参考答案与解析
参考答案：
1．(1)直线的函数表达式为，点C的坐标为；
(2)的值为或2或3．
【分析】本题考查了二次函数综合，熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程是解题的关键．
（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式，进而可得点C的坐标；
（2）由题意得，点P的坐标为，可得，分两种情况：①点P在点D上方时；②点P在点D下方时，结合列出方程求解m的值即可．
【详解】（1）解：对于，令，则，
解得：，，
点A的坐标为，
设直线的函数表达式为，
代入和得，，
解得：，
直线的函数表达式为，
对于，令，则，
解得：，
点C的坐标为0,4，
综上所述，直线的函数表达式为，点C的坐标为0,4．
（2）由题意得，点P的坐标为，
直线轴于点E，与直线交于点D，
点D的坐标和点P的横坐标相同，即，
由（1）得，直线的函数表达式为，
，
点C的坐标为0,4，
，
；
①当点P在点D上方时，
则，
，
解得：，，
，
的值为；
②当点P在点D下方时，
则，
，
解得：，，
的值为2或3；
综上所述，的值为或2或3．
2．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定，，则，设，则，，根据平行线分线段成比例定理，由得到，可得结论；
（3）先用表示、得到，，再利用得，然后讨论得到两个关于的一元二次方程，再解方程求出满足条件的的值．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，两点，
∴抛物线解析式为，即；
（2）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，则，
当时，，解得，则，
∴，，
∴，
设，
∵轴，
∴，，，
∴，即，
∴；
（3）存在．
∵，，
又∵，
∴，
当，解得：（舍去），；
当，解得：（舍去），，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，平行线分线段成比例定理，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
3．(1)，，，直线的解析式为
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．
（1）根据函数图象的特点求A、B、C的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由题可知，则，，再由，得到方程，求出m的值即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入可得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵点P的横坐标为m，
∴，则，，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
4．(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值
(2)点P的坐标为
【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点、、的坐标， 再利用待定系数法求出直线的解析式， 根据点的横坐标， 找出点、的坐标， 由此即可得出关于的函数关系式， 利用配方法即可得出最值；
（2）根据、的坐标即可得出、的长度， 结合即可得出的值， 将其代入点的坐标中即可得出结论 ．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点、的坐标；（2）根据求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时， 根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．
【详解】（1）解：依题意，当时，，
；
当时， 有，
解得：，，
，．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
．
当时，，
．
．
，，
，
当时，取最大值．
（2）解：，轴，
，
，
，
此时点的坐标为．
5．(1)二次函数的解析式为，直线BC的解析式为
(2)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）知直线的解析式，设，得到，利用二次函数的性质求解即可得
【详解】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
二次函数的解析式；
令，则，
解得：，，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）由（1）知直线的解析式为，
设点，
轴于点Q交于点H，
，
，
，
当时，的长度最大，
将代入得．
6．(1)
(2)最大值为，点的坐标为
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）求出点坐标，即可得直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，进而可得，利用二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 ．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点、点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线交轴于点，
∴C0,−3，
设直线的解析式为，把、C0,−3代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标为，代入得，
，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，此时，点的坐标为．
7．(1)
(2)最大值，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
点坐标为，点坐标为，
；
（2）解：当时，，
，
设直线为，
，
解得，
直线为，
设，
，
，
，
当时，有最大值，
此时．
8．(1)
(2)点D的坐标为或
【分析】（1）令，用含m的式子表示出A、B两点坐标，根据求出m的值，即可求解；
（2）过点D作轴交直线于点F，根据（1）中结论求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求出直线的解析式，设，和含t的式子表示出，再根据，推出，根据相似三角形对应边长度成比例列式求出t的值，即可得出点D的坐标．
【详解】（1）解：令，
化简得：，
解得：，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点D作轴交直线于点F，
在中，令，得，
∴，
令，得，
解得：，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，将B、C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设，
∵轴，
∴点F的纵坐标为，
则，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
当时， ，
当时，，
∴点D的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定的性质，正确作出辅助线，综合应用上述知识点是解题的关键．
9．(1)二次函数的解析式为
(2)或
【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴, 垂足为, 交CB于点，设表示出点坐标，再利用列式求解．
【详解】（1）把 代入
得，解得，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：如图,过点作轴, 垂足为, 交CB于点，
当时，解得
∴,
当x=0时，得
，
设直线解析式为：y=mx+n，代入,
得，解得
∴直线解析式为
设则
，
∵,

，即
解得或
或．
10．(1)，；
(2)最大面积为：，；
(3)，最小值为：．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）利用图形面积和差，转化为二次函数求最值即可；
（3）先过点作垂线段，当三点共线时，再根据垂线段最短，最后用等面积法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∵抛物线和一次函数的图象都经过点、
∴，，
解得：，，
∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：，
（2）如图，过作轴，交轴于点，交AD于点，
设，则，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴当时，面积最大，最大值为，
此时，即点；
（3）如图，过作轴，交轴于点，交AD于点，过作于点，
由（2）可知：，∴，
∴，
由得：当x=0时，，∴，
则有，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，，
则当点三点共线时有最小值，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数、图形面积计算等，解题的关键是如何找到等线段．
1．横线段∵AB//x轴
∴AB=|xA-xB|
2．竖线段∵AB//y轴
∴AB=|yA-yB|
1．勾股转化：
2．特殊角转化：∵∠OBC=45°
∴
3．相似三角形转化：∵DF∥OC，
∴△DEP∽△OEC，
∴