2025年中考数学二次函数压轴题专题练习16定值问题（含解析）

这是一份2025年中考数学二次函数压轴题专题练习16定值问题（含解析），共51页。
解决这类问题的一般步骤是：
1． 根据题目条件，设出二次函数的一般形式．
2． 利用题目给出的条件（如定点、定值等），建立方程或不等式．
3． 解方程或不等式，找出满足条件的值或点．
（2024秋•工业园区校级月考）
1．如图，二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E，与直线交于点F，连接交直线于点G．
(1)填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由；
(3)若点P为二次函数（a为常数，且）位于第一象限图象上一点，连接，交直线于点Q，试求的最大值，并求出此时点P的横坐标．
（2024秋•花都区校级月考）
2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为AB中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
若直线AD，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
（2024•龙岩模拟）
3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)以为直径作，交y轴正半轴于点E，直线平分，交y轴于点F，与关于直线对称．求证：点B，I，F三点共线．
(3)点D是抛物线对称轴与x轴的交点，点R是线段上的动点（除B，D外），过点R作x轴的垂线交抛物线于点K，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由．
（2024•无锡二模）
4．如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）．
(1)如图1，若，，请求出的值．
(2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由．
(3)如图2，若，求的值．
（2024•湖南）
5．已知二次函数的图像经过点，点Px1,y1，Qx2,y2是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
（2024•兴化市三模）
6．已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点．
(1)如图1，当时，点D在第一象限内；
①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标；
(2)如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接，，直线与交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由．
（2024春•天河区校级月考）
7．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：，点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．
(1)求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；
(2)已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
（2024•青岛三模）
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点C ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接，线段 与交于点 Q，设 的面积为 ，的面积为，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)当时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
（2024春•海州区期中）
9．如图1，二次函数的图象与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C．
(1)① ，②顶点坐标为 ；
(2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及图象的一段，分别记为．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点P移动的最短路程；
(3)如图3，M是抛物线上一点，N为射线上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线同侧的不同两点，，点M到x轴的距离为a，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2024•姑苏区一模）
10．如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点D为的外心．
(1)填空：点A的坐标为 ， °；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则 ．
（2024•烟台一模）
11．（1）如果四个点，0,3，，中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上.
① ；
②如图1，已知菱形的顶点B，C，D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B，D在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由；
（2）已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式.
（2024•利州区一模）
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标；
(3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
（2024•高新区二模）
13．如图（1），已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．连接CD，．
(1)点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；（用含有m的代数式表示）
(2)如图（2），若CB平分，若点P是二次函数图象上的点，且在直线下方．
①若对称轴与直线交于点M，试说明与相等；
②求二次函数的表达式；
③点P到直线距离的最大值为 ；
④直线、分别交y轴于点E、F，问是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
（2024春•靖江市月考）
14．二次函数图象交x轴于O、A两点，点为点A右侧图象上一动点，过点C作轴于点B．点在原点O左侧图象上，直线交y轴于点E，连接、．
(1)如图，当，轴：
①若，判断与的数量关系，并说明理由；
②若，在点C、D运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)在点C、D在运动的过程中，试探究与的数量关系，并说明理由．
（2024•昆都仑区校级三模）
15．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)是定值，这个定值为
(3)的最大值为 ，此时点的横坐标为
【分析】（1）令，解方程可得 两点坐标；
（2）令可得点的坐标，求出顶点的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，则，过点A作轴交直线于点，则，证明，即可得，即可求解；
（3）过点A作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，则， 设，则，证明，即可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解.
【详解】（1）解：令得 ，
解得 或 ，
∵点A在点左侧，
∴点A的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：是定值，
把代入，得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，代入，
，
解得 ，
∴直线的解析式为，
过点A作轴交直线于点，
，
，
，
∵点A的坐标为，
，
∴顶点为，
，
，
是定值，这个定值为；
（3）解：过点A作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，
，
设则，
，
∵轴，轴，
，
，
∴当时, 的最大值为 ，此时点的横坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题．
2．(1)；
(2)见解析；是定值，值为．
【分析】
把点、代入，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
解方程求出点的坐标，根据点为AB中点，得到点的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，点是直线与抛物线的交点，所以点，，三点共线；
设点的坐标为，点的坐标为，把直线AD、的解析式表示出来，解方程组求出点的坐标为，根据一元二次方程根与系数的关系可得点是直线上的动点，所以到，的距离是变化的，到AB的距离是定值，可得的面积为定值．
【详解】（1）
解：将点、代入，
可得：，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）
证明：点与点重合，则点的坐标这，
解方程，
得：，，
可得点的坐标为，点的坐标为，
点为AB中点，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点、的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
解方程组，
可得：或，
点在直线上，
点，，三点共线；
解：设点的坐标为，点的坐标为，
点，，三点共线，
设直线的解析式，
解方程组，
整理得：，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线AD解析式为，直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
点的坐标为，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
，，
，
又的值不确定，
点在直线上运动，
P到轴的距离为定值，
直线AD，交于点，
无论点，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，
，，中必存在面积为定值的三角形，
到，的距离是变化的，到AB的距离是定值，
如图下所示，
的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是利用数形结合的思想在坐标系中画出图形．
3．(1)
(2)见解析
(3)是定值，．理由见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形、二次函数的图像及性质、求一次函数、轴对称的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形、二次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）令，得，解得：，令，得，即可完成解答；
（2）利用待定系数法得直线的解析式为，再证点F在上即可解答；
（3）设，先求得直线的解析式为，直线的解析式为，进而得、，从而完成解答．
【详解】（1）解：令，得，解得，
令，得，
∴．
（2）证明：由（1）可知，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵直线平分，
∴，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，直线平分，
∴点与点B重合，，
∴，
过点I作轴于H，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点在直线上，
∴点B，L，F三点共线．
（3）解：是定值，．理由如下：
如图2，
设，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为．
令得，
∴，
∴是定值．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答；
（2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出，即可解答．
（3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答．
【详解】（1）解：若，，则一次函数为，
联立和得：
，
解得或，
，，
联立和得：
，
解得或，
，，
，
，
．
（2）解：当时，一次函数为，
联立和得：
，
解得，
联立和得：
，
解得：，
过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，
∵轴，轴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵点B与A横坐标之差为1，
∴，，即，
整理得：，
∵，
∴．
（3）解：联立和得：
，
解得，
联立和得：
，
解得：，
由（2）可得：，
∴，
整理得：，
由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则，
两边同时除以m得：，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
同理可得：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤．
5．(1)
(2)为定值3，证明见解析
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解；
（3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值．
【详解】（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
6．(1)①，；②或
(2)为定值，理由见解析
【分析】（1）当时，二次函数为．令，则可求出点，令，则可求出点，，采用待定系数法即可求出直线的函数解析式；
②过点作平行于轴的直线，交线段于点，根据点A，B，C的坐标即可求得，从而，设，则点，根据即可求得a的值，从而解答；
（2）设点D的坐标为，点的坐标为，
由直线与不重合，得到且，且，，过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G，证得，得到，从而，因此，化简即可得到，从而点的坐标为，根据待定系数法求出直线的表达式为：，直线的表达式为：，令，得到，由点的横坐标为t，得到，从而，为定值．
【详解】（1）解：当时，二次函数为．
①令， ，
∴点C的坐标为，
令，则，
解得，，
∴，
设直线的函数解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得
直线的函数表达式：．
②过点作平行于轴的直线，交线段于点，
∵，，，
∴，，
∴，
由面积是面积的4倍，得．
设，则点
解得或，
∴或．
（2）解：∵二次函数，
令，则，
∴，
令，则，解得，，
∴，
设点D的坐标为，点的坐标为，
∵直线与不重合，
且，且，，
∵，点，
∴，
过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G，
∴，
设交y轴于点H，
∵，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵
．
点的坐标为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
，解得，
点的横坐标为t，
，
，为定值．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键．
7．(1)抛物线G与x轴交点的坐标或
(2)是定值，且值为1
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）令，然后解方程即可解答；
（2）如图：连接交点为E，过B作轴于M，过C作于N，证明，，则，，
设，则，进而因式分解得出，可得；根据对称性可得当B，D在对称轴的左侧时，同理可得是定值．
【详解】（1）解：当，则，即，解得：，
∴抛物线G与x轴交点的坐标或；
（2）解：由（1）可得对称轴为直线，
当B，D在对称轴的右侧时，
如图：连接交点为E，过B作轴于M，过C作于N，
由正方形的性质可知，E为的中点，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由题意知：，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点B、D在对称轴的同侧，对称轴为直线，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，且值为1；
根据对称性可得当B，D在对称轴的左侧时，同理可得是定值，且值为1．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解；
（2）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解；
（3）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可．
【详解】（1）解：将 ，代入，
得：，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，
当时，，
，
，
，，
；
，
二次函数图象的顶点坐标为；
，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，
此时点P的坐标为；
（3）解：由（2）得，
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，，y有最大值0，
，y有最小值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
当时，，y有最小值，
，y有最大值，
最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意；
综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
9．(1)，
(2)
(3)为定值4
【分析】本题属于二次函数综合题、主要考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、两点间的距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）将点的坐标代入抛物线的表达式可得，即函数解析式为，然后化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）分别求出两抛物线的顶点坐标，然后运用两点间距离公式即可解答；
（3）由题意可得，进而可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线的表达式得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∴抛物线的顶点坐标为：．
故答案为：，．
（2）解：∵抛物线：的顶点坐标为：，原抛物线的顶点坐标为：，
∴点P移动的最短路径即为两个顶点之间的距离：．
（3）解：为定值4，理由如下：
由抛物线的表达式知，点，则，
∴，
∵、同底，
∴、的高相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴为定值．
10．(1)，45
(2)为定值，
(3)2或
【分析】（1）令得，因式分解求得方程的根，根据等腰直角三角形的判定，计算的度数即可．
（2）过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则,,,,证明，后利用三角形面积解答即可．
（3）设点，以对角线为依据，分类计算即可．
【详解】（1）解：令得，
∴，
∴点，点，
∴，
当时，，
∴点，
∴，
∴，
故答案为：，45．
（2）解：为定值，理由：
∵点D为的外心，，
∴，，，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点，
则,,,,
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴且，
解得：，
∵的面积为，的面积为，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴,
故为定值，．
（3）解：由（2）知，点，点，点，设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
解得：或（舍去）
当或为对角线时，
同理可得：
或
解得：或（舍去）
综上，或
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
11．（1）①1；②；③是定值，（2）、满足的等量关系式为或
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）①在中，令得，即知不在二次函数为常数，且的图象上，用待定系数法可得；
②设交轴于，设菱形的边长为，可得，故，，代入得，即可求解；
③过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，可得，，，，证明，有，，故，，即可得；
（2）过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，知，，分三种情况：①当，在轴左侧时，由，可得，，即可求解；②当在轴左侧，在轴右侧时，由，有，，即可求解；③当，在轴右侧时，，，即可求解．
【详解】解：（1）①在中，令得，
在二次函数为常数，且的图象上，不在二次函数为常数，且的图象上，
四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上，
二次函数为常数，且的图象上的三个点是、、，
把代入得：，
解得：，
故答案为：1；
②设交轴于，如图：
设菱形的边长为，则，
，关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
把代入得：
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
③是为定值，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
点、的横坐标分别为、，
，，
，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
点、在轴的同侧，
，
；
（2）过作轴于，过作轴于，
点、的横坐标分别为、，
，，
①当，在轴左侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
，
；
②当在轴左侧，在轴右侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
或；
③当，在轴右侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
；
综上所述，、满足的等量关系式为或．
12．(1)
(2)
(3)是定值，为2，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先证明，再由得到，再证明，得到，即可求解；
（3）证明得到，求出，同理，，即可求解．
【详解】（1）设，
则；
（2）抛物线的表达式为，则点，
连接，过作交于点，作轴于点，
将代入得，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
；
（3）是定值，为2，理由：
过点作一直线交抛物线于、两点，
设直线的解析式为，，，，，
，，
直线的解析式为②，
联立①②得：，
，，
如图，作轴于点，作轴于点，
则，
，
即，
，
同理，，
，为定值．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长．
13．(1)(，
(2)①见解析；②；③；④是定值，值为4
【分析】（1）把代入可解得点和点的坐标，由抛物线的解析式可得顶点坐标；
（2）①证明轴，得，即 可证明；
②用含的式子表示点和点的坐标，表示CD的长度，再表示的长度， 由列出方程，求出的值，即可得到二次函数表达式；
③设点的坐标为，点到直线的距离为， 过点作轴， 交于点，证明当的面积取最大值时，取最大值，根据题意求出的最大值，从而得到点到直线距离的最大值；
④过点作轴，垂足为点，证明和表示和的长度，从而证明是定值．
【详解】（1）解：（1）把代入，得，
解得，，
∵m>0，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
由抛物线解析式为，
得，，
则顶点D的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：①根据题意作图，
∵CB平分，
∴，
∵对称轴与直线交于点M，
∴在抛物线对称轴上，
轴，
，
，
；
②把x=0代入得
∴点的坐标为
∵点的坐标为
，
设直线的解析式为
把， 代入
得直线的解析式为
把代入得
∴点的坐标为
，
，
，
即
解得
，
，
∴二次函数的表达式为
③设点的坐标为 点到直线的距离为，
过点作轴， 交于点，
由直线的解析式为得点的坐标为
∵点是二次函数图象上的点，且在直线下方，
，
由 即当的面积取最大值时，取最大值，
由
当时， 取得最大值，
即 得
∴点到直线距离的最大值为，
故答案为：；
④是定值，理由如下：过点作轴，垂足为点，
由点的坐标为则点的坐标为，
轴，
轴，
，
即
得
∵轴，
，
即
得
．
【点睛】本题考查了求二次函数的点的坐标，等腰三角形的性质 ，待定系数法求函数解析式，利用二次函数求面积的最大值，相似三角形的性质和判定等知识点，本题关键点是构造相似三角形解决定值问题．
14．(1)①，理由见解析；②，为定值，理由见解析
(2)或
【分析】（1）①过点D作轴于F，分别求出，，，从而求得，，，，则，，即可得出结论；②由题意得，，，则，，，又因为对称轴为，即，所以，代入计算即可．
（2）过点D作轴，先求出，，再求出直线的解析式为，则，，求出，得到，则，，可得，即．
【详解】（1）解：①，理由如下：
当，时，则二次函数解析式为，，
当时， 解得：或，
∵，
∴，，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
过点D作轴于F，如图，
∴，，
令，则，解得：，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
②，为定值，理由如下：
由（1）①得，，，
∴，，，
∵轴，
∴C、D关于对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点D作轴，如图所示：

由题意得，，，
∴，，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数与x轴交点，待定系数法求一次函数解析式，锐角的正切三角函数，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
15．(1)
(2)或或或
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【详解】（1）解：将点A−2,0，B4,0，代入中得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵点A−2,0，B4,0，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴；
如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴；
如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
∴，
综上所述，或或或；
（3）解：设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点A−2,0，B4,0，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．