第11讲 导数中的新定义问题-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新运算、新性质几种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、导数新定义问题
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
【考点一：定义新概念】
一、解答题
1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x是的导函数，f″x是f'x的导函数，则曲线y=fx在点处的曲率．
(1)求曲线fx=1x在点处的曲率的值；
(2)求正弦曲线曲率的最大值．
2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由;
(3)当时，求证：函数为“函数”.
3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．
(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围；
(2)若函数在上有极值，求整数的最小值．
（参考数据）
4．（23-24高二下·山东德州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
【考点二：定义新运算】
一、单选题
1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题
2．（24-25高二上·福建·阶段练习）如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．

(1)证明：存在唯一零点，且；
(2)已知，证明：；
(3)经过4次迭代后，判断的近似值与的差值小于．
3．（23-24高二下·山东枣庄·期中）一般地，设函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]分成个小区间．每个小区间长度为．在每个小区间上任取一点作和式．如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间[a，b]上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如下图所示：
如果函数是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么
(1)求；
(2)设函数．
①若恒成立，求实数的取值范围；
②数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．
【考点三：定义新性质】
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ）
A．B．C．D．
2．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（ ）
①，②，③，，④
A．①③B．①④C．①③④D．②③④
二、解答题
3．（2024·上海奉贤·二模）设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．
(1)求证：函数不具有性质；
(2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．
4．（2024·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
一、单选题
1．（23-24高二上·河北邢台·开学考试）函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．设函数定义域为D，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024高二·全国·专题练习）若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题
4．（22-23高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围.
5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数．
(1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间；
(2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数．
6．（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．
7．（23-24高二下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
8．（23-24高二下·北京·阶段练习）对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，：满足（1）对任意的，且；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“q-压缩函数”.区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作.
(1)判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论）
①②③
(2)设，若求实数a的取值范围.
(3)设.若对任意的，，均有，求M的最小值，并说明理由.
9．（23-24高二下·河北·期末）已知函数，若存在实数，使得，则称与为“互补函数”，为“互补数”.
(1)判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由.
(2)已知函数为“互补函数”，且为“互补数”.
（i）是否存在，使得？说明理由.
（ii）若，用的代数式表示的最大值.
10．（23-24高二下·江西萍乡·期中）函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”．试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由．
11．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个“T”函数．
(1)分别判断新，是否为函数，并说明理由；
(2)已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明；
(3)已知函数的定义域为R，不等式的解集为．证明：在R上严格增．
12．（24-25高二上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用.
(1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；
(2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得；
(3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）.
13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．
(1)时，求在极值点处的曲率；
(2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：．
14．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”.
(1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由：
（i）；
（ii）.
(2)已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值；
(3)设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值.
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：定义新概念】
【考点二：定义新运算】
【考点三：定义新性质】
模块四 小试牛刀过关测
1.了解新定义问题在导数中的应用