四川省眉山市第一中学2025届高三上学期一诊模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的基本运算即可得出结果.
详解】由集合即可得.
故选：B
2. 已知复数满足，则复数虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简可得，进而可得复数的虚部.
【详解】由已知，
则，
即复数的虚部为，
故选：C.
3. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由，，为等差数列，则，即，
所以，整理得，解得或（舍去）.
故选：C.
4. 函数是上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是
A. 增函数B. 减函数C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，先由f（x+1）＝﹣f（x）确定函数的周期为2，结合函数的奇偶性与在[﹣1，0]上单调递减，分析可得答案．
【详解】根据题意，∵f（x+1）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴函数的周期是2；
又f（x）在定义域R上是偶函数，在[﹣1，0]上是减函数，
∴函数f（x）在[0，1]上是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数，
∴f（x）在[3，5]上是先减后增的函数；
故选D．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的周期．
5. 已知函数，若为偶函数；且在区间内仅有两个零点，则的值是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，以及根据余弦函数的零点，列式求的值.
【详解】，为偶函数，
所以，，，，
当，，因为在区间内仅有两个零点，
所以，得，则.
故选：A
6. 放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
详解】由题意可得，计算即可得解.
【分析】由题意可得，
即，即.
故选：A.
7. 若函数在时取得极小值，则的极大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表，
可得答案.
【详解】由函数，求导可得，
由题意可得，则，解得，
所以，则，
，
令，解得或2，
可得下表：
则函数的极大值为.
故选：D.
8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值.
【详解】因为，，，所以，
1
2
正
0
负
0
正
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
设，，
则，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以
（其中），
所以，
则，
即三角形的面积的最大值是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式
求出的最大值，进而求出三角形面积最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，代入正弦函数的单调区间、对称轴、对称中心分别对四个选项判断即可.
【详解】对于A，因为，
向右平移个单位得，
则最小正周期为，故A选项正确；
对于B，当时，，
由于在不单调，故在上不单调，
故B选项错误；
对于C，时，，即的图象不关于直线对称，C选项错误；
对于D，令，解得，
所以函数的对称中心为，，
时，即为，故D选项正确.
故选：AD.
10. 如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（ ）
A. 的值不可能大于B.
C. 的最小值为D. 的最大值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，利用反例，结合平面向量的基本定理，作平行四边形，可得答案；对于B，根据等边三角形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；对于C、D，利用平面向量的线性运算，整理所求数量积仅仅只有一个变量，根据三角函数的值域，可得答案.
【详解】对于A选项，过点作交延长线于，
过点作交于，作图如下：
在平行四边形中，，由，则，故A选项错误；
对于B选项，，故B正确；
对于C、D选项，取线段中点，连接，，作图如下：
，
在等边三角形中，易知，所以，
，则，
设与的夹角为，易知，则，
所以，故C选项错误，D选项正确.
故选：BD.
11. 已知数列满足，，且，则（ ）
A. B.
C. 当时，D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】根据三角恒等变换计算得，再利用累乘法求得数列的通项公式为判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合函数单调性推理D.
【分析】对于B，由，
得，
即，整理得，
当时，，
满足上式，因此，B错误；
对于A，，即，又，解得，A正确；
对于C，当时，，又，因此，即，C正确；
对于D，由，得，又，，
因此，令函数，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角函数恒等变换以及累乘法得出数列满足，再根据三角函数单调性以及平方关系计算可得相应结论.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：
13. 已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的对称性和单调性可得的解集中有且仅有2个整数，设，利用导数讨论其单调性后可得实数的最大值.
【详解】设，
因为均为上的增函数，故为上的奇函数，
又，
由不等式可化为，
即，故，
故的解集中有且仅有2个整数，
故的解集中有且仅有2个整数，设，
则，
则当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
故的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用函数的单调性以及奇偶性将问题转化为不等式的解集中的整数个数问题.
14. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【详解】将条件转化为在上单调递增，再转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论.
【分析】不妨设，则不等式可化为，
所以，
设，由已知可得在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
设，则，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，满足，
即，所以，
设，则，
所以在上单调递增，又，
所以，
所以当时，，，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递减，
所以，又，
所以，
所以，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，，且向量与共线.
（1）证明：；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可；
（2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可；
（3）利用向量数量积运算律求解即可
【小问1详解】
因为向量与共线，所以，
则，解得，
所以，，
因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
即与夹角的余弦值为.
【小问3详解】
因为，，，
所以，解得.
16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且.
（1）求；
（2）若的外接圆半径为，周长为，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据弦切互化以及和差角公式可得，即可结合正弦定理求解；
（2）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角恒等变换求解.
【小问1详解】
因为，
故，
所以.
因为，所以，
又，所以.
【小问2详解】
由正弦定理可知，，，
因为，所以，
所以.
所以.
又，所以，
所以，故.
17. 已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比数列的定义可得出，在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可得结论；
（2）根据（1）中的结论求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
因为是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，即，
又，所以是首项为，公差为的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
所以，。
则，
上述两个等式作差可得
，
故.
18. 已知函数.
（1）求过点的图象的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围；
（3）当时，均有恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的运算即可得解；
（2）将问题化为方程有两个不相等的正数根，再利用二次函数根的分布即可得解；
（3）利用参变分离法与构造函数法，将问题转化为的恒成立问题，利用导数与隐零点求得的最大值的取值范围，从而得解.
【小问1详解】
由题意得，函数的定义域为，，
设切点坐标为，则切线方程为，
把点代入切线方程，得，则，，
过点的切线方程为.
【小问2详解】
，
，
令，
要使存在两个极值点，，
则方程有两个不相等的正数根，，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由于在上恒成立，
在上恒成立，
令，则在上恒成立，
则，
当时，，
令，则，在上单调递增，
又，，
存在使得，即，，
故当时，，此时，
当时，，此时，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
从而，
令，，则，
在上单调递增，，
又为整数，故，即整数的最小值为.
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若或恒成立，只需满足或即可，然后利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而问题得解.
19. 已知函数.
（1）当时，求的零点个数；
（2）设，函数.
（i）判断的单调性；
（ii）若，求的最小值.
【答案】（1）2个 （2）（i）在上单调递增，在和上单调递减；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出函数导数，判断函数单调性，结合零点存在定理即可得结论；
（2）（i）求导，利用导数的正负即可判断函数单调性；（ii）利用得到是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，即，从而表示出，构造函数求解，即可得答案.
【小问1详解】
由题可知，则，
令，可得，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
，
又，，
即在和内各有一个零点，
有2个不同的零点.
【小问2详解】
（i）由题可知，
则，
令，可得或，
当时，，当时，，
在上单调递增，在和上单调递减.
（ii）由，可得，是关于的方程
的两个不同的实根，
故，，即.
故
，
设，
当时，，
为上的增函数，
的最小值为，
故最小值为.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求最小值时，要利用得到，是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，即，从而表示出，构造函数求解.