重庆市第十八中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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考试说明：1.考试时间120分钟 2.试题总分150分 3.试卷页数2页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题，且范围不变，结论相反，
则命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】直接解出集合，再根据并集含义即可得解.
【详解】，，
则.
故选：B.
3. 下列函数是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
【详解】对于A，函数，定义域为，，是偶函数；
对于B，函数定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；
对于C，函数，定义域为，
，是奇函数；
对于D，函数，定义域为，，
且，所以为非奇非偶函数.
故选：C.
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数、余弦函数的单调性比较大小.
【详解】依题意，，，，
所以.
故选：A
5. 设是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】一方面，若，则当时，不成立；
另一方面，若，则当时，不成立.
故选：D
6. 已知，则等于（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件，以及指数与对数的转换关系，可求出，，由换底公式可得，从而计算的值.
【详解】因为，所以，， 所以，
所以 .
故选：D.
7. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知函数在上单调递减，结合分段函数的单调性的判定方法，建立不等式组，解得实数的取值范围.
【详解】∵对且，都有，
∴函数在上单调递减，
∴，∴，即.
故选：C
8. 若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得在上单调递增，对于一切恒成立，可转化为对于一切恒成立，设，，，，求与即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数，
所以在上单调递增，
因为不等式对于一切恒成立，
所以对于一切恒成立，
所以对于一切恒成立，
即对于一切恒成立，
设，，，，
则，
因为，在上单调递增，
所以，
因为，在上单调递增，
所以，
所以.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，值域是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本初等函数的性质以及不等式的性质求出各选项中函数的值域，可得出合适的选项.
【详解】A选项：，定义域为，值域为，A选错误；
B选项：定义域为，
因为，所以函数的值域为，B选项正确；
C选项：，因为，则，
所以，则值域，C选项错误；
D选项：，因为，则，定义域为，
所以函数的值域为，D选项正确.
故选：BD
10. 已知正数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
分析】利用乘“1”法即可判断AB，利用基本不等式即可判断C，构造二次函数结合C选项范围即可判断D.
【详解】对A，由题意得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误，
对B，，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故C正确；
对D，，所以，
所以，因为，
所以当时，取得最小值，最小值为，当且仅当，时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 在区间上单调递减
C. 集合的元素个数为2个
D. 集合的元素个数为4
【答案】ABD
【解析】
分析】利用奇函数定义判断A；分段确定单调性判断B；求出方程根判断CD.
【详解】对于A，由，得，即的定义域为关于原点对称，
又，故为奇函数，A正确；
对于B，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，
因此在上单调递减，B正确；
对于C，由，得或，解得，C错误；
对于D，由，得，，，
即关于的方程有两个不等的正根，因此方程有4个根，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数、对数的运算性质计算可得.
【详解】
.
故答案为：
13. 若，，则______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式即得.
【详解】由，得，由，得，
而，则，整理得，
即，所以.
故答案为：
14. 已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是______.
【答案】12
【解析】
【分析】由解析式作出函数图象，分类讨论与，结合图象分析题设不等式的解集中整数的个数情况，进而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】函数的函数图象如下：
因为，则，
当时，则，
若时，此时不等式无整数解，
当时，由对称性可知，不等式至少有2个整数解；
当时，则，
令，则，则，要想不等式恰有1个整数解，
则是不等式的解，不是不等式的解，
由函数图象可知，函数在上单调递减，
所以，即，即，
所以实数的最大值是12.
故答案为：12.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合，再求出集合在上的补集，再求即可；
（2）由题意得，分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，.
，，
.
【小问2详解】
，
.
当时，符合题意，此时有，解得；
当时，要使，只需，解得.
综上，.
故实数的取值范围为.
16. 已知幂函数.
（1）求的值；
（2）若为偶函数，求的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在上最大值为0，求实数的值.
【答案】（1）或3
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义建立方程，解方程，验证即可；
（2）由（1），结合奇偶函数的定义即可求解；
（3）由（2）可得，再代入端点值求出值，验证即可.
【小问1详解】
因为函数为幂函数，所以，
解得或3.
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以或3；
【小问2详解】
由（1）知，当时，，则，为奇函数；
当时，，则，为偶函数，
所以的解析式为；
【小问3详解】
由（2）知，，则，，
因为函数开口向上，所以其最大值在端点取得，
当，解得，此时，，故舍去；
当，解得，此时，此时，符合题意，
综上所述，.
17. 实行垃圾分类、保护生态环境人人有责.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备
使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元.
（1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上；
（2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？（年平均盈利额）
【答案】（1），5年；
（2）年，最大值为万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出与之间的函数关系式，再解不等式即可得解；
（2）求出平均盈利额的表达式，再利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值.
【小问1详解】
依题意，
由，得，解得，
所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上.
【小问2详解】
由（1）平均盈利额为，
当且仅当即时取等号，
所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元.
18. 已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义列式计算，并验证即得.
（2）利用单调性定义，结合指数函数单调性推理得证.
（3）把问题转化为函数在上的最大值不大于在上的最大值求解.
【小问1详解】
函数的定义域为R，由是奇函数，得，
解得，，，函数是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，在上的单调递减，
，则，，于是，
，所以函数在上的单调递减.
【小问3详解】
对任意的，总存在，使得成立，
则函数在上的最大值不大于在上的最大值，
当时，由（2）知函数在上的单调递减，，
当时，，
当时，，恒成立，符合题意，因此；
当时，在上单调递增，，
由，解得，因此；
当时，在上单调递减，，
显然恒成立，因此，
所以实数的取值范围是.
19. 已知函数满足：且.
（1）求的解析式；
（2）已知的定义域为.
（i）求的定义域；
（ii）若方程有唯一实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式；
（2）（ⅰ）解不等式，即可得出的定义域；
（ⅱ）结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围.
小问1详解】
令，则，所以，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
（ⅰ）因为的定义域为，
所以，解得， 所以，
所以定义域为.
（ⅱ）（2）因为的定义域为，，解得，的定义域为.
，即在恒成立，
在单调递减，当时，最大值为1，.
又，，
化简得，
令，则在有唯一实数根，
令，
当时，令，得，即，得符合题意，所以；
当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解；
综上，实数k的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.