新高考数学一轮复习考点分类讲与练第06讲 基本不等式及应用（2份，原卷版+解析版）

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1、基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3、利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
1、【2022年新高考2卷】若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
1、在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A选项，时，为负数，A错误.
对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.
对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.
对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.
故选：C
2、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
【答案】15 eq \f(15,2)
【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq \f(1,2)x·(2y)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2＝eq \f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq \f(15,2)时取等号
3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】由得，当且仅当时取等，A正确；
由得，当且仅当时取等，B正确；
由正数a，b及知，，可得，故，C错误；
令，则，两边同时平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正确.
故选：ABD.
4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知，且.则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．
D．
【答案】BD
【解析】解：由题意得：
对于选项A：因为，
所以
当且仅当时，即，的最小值为，故A错误；
对于选项B：因为，所以
故
当时，的最小值为，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，当时等号成立，但,
故等号不成立,所以,故D正确.
故选：BD
考向一 运用基本不等式求函数的最值
例1、 (1)已知00)，则y＝ eq \f(x2＋2,x－1)＝ eq \f((t＋1)2＋2,t)＝t＋ eq \f(3,t)＋2≥2 eq \r(3)＋2，
当且仅当 t＝ eq \f(3,t)，即t＝ eq \r(3)，即x＝ eq \r(3)＋1时，取等号，所以y的最小值为2 eq \r(3)＋2.
变式2、 已知x≥1，求y＝ eq \f(x2＋2,x＋1) 的最小值．
【解析】 令x＋1＝t(t≥2)，则y＝ eq \f(x2＋2,x＋1)＝ eq \f((t－1)2＋2,t)＝t＋ eq \f(3,t)－2≥2 eq \r(3)－2，
当且仅当 t＝ eq \f(3,t)，即t＝ eq \r(3)时，取等号．又因为t≥2，
根据对勾函数的性质可知当t＝2，即x＝1时，y有最小值，即ymin＝2＋ eq \f(3,2)－2＝ eq \f(3,2).
变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】
根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】
解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
（2）（2022·广东惠州·二模）函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【分析】
分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】
（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
考向二 基本不等式中1的运用
例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】##
【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．2
【答案】B
【分析】
将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．
【详解】
由函数的图象经过，则，即．
，当且仅当时取到等号．
故选：B．
变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则 的最小值是（ ）
A．2B．C．D．不存在
【答案】B
【分析】
由等比数列通项公式及等差中项的性质可得，进而有，利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号是否成立.
【详解】
由题设，若公比为且，则，
所以，
由，则，故，可得，
所以，而，故等号不成立，
又，故当时，当时，
显然，故时最小值为.
故选：B
变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若，，，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】
利用题设条件，将式子化成，观察得出，之后利用乘以1不变，结合基本不等式求得其范围，进而得到正确答案.
【详解】
原式
（当且仅当，时取等号）.
故选：CD.
方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ \F(1,y)－EQ \F(1,x)，则y的最大值为( )
A．1 B．EQ \F(1,2) C．2 D．EQ \F(1,3)
【答案】D
【解析】由题意可知，x＋3y＝EQ \F(1,y)－EQ \F(1,x)，则x＋EQ \F(1,x)＝EQ \F(1,y)－3y，因为x＞0，所以x＋EQ \F(1,x)＝EQ \F(1,y)－3y≥2EQ \R(,x·\F(1,x))＝2，当且仅当x＝EQ \F(1,x)，即x＝1时等号成立，即EQ \F(1,y)－3y≥2，又y＞0，所以可化为3y2＋2y－1≤0，解得0＜y≤EQ \F(1,3)，即y的最大值为EQ \F(1,3)，故答案选D．
变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)
已知正实数，满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】，
，当且仅当，时取等号．
所以则的最小值是，故答案为：
变式2、（2022·湖南·一模）已知，则_________．
【答案】3
【分析】
利用基本不等式求得，从而可得，求解出值，代入即可得值.
【详解】
因为，当且仅当时取等号，所以，即，得，所以，即，所以.
故答案为：
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值
考向四 运用基本不等式解决实际问题
例4、工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝ eq \f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋ eq \f(10 000,x)－1 450.已知每件商品的售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1) 写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1) 因为每件商品的售价为0.05万元，所以 x千件商品的销售额为(0.05×1 000x)万元．依题意，得当0