新高考数学一轮复习考点分类讲与练第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性（2份，原卷版+解析版）

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1、函数的奇偶性
2、周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
1、【2022年全国乙卷】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
2、【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
3、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
6、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
7、【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
8、【2020年新课标2卷文科】设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A B C D
【答案】D
【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D．
2、已知是奇函数，且当时，．若，则__________．
【答案】
【解析】：，得，．
3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数是奇函数，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以，即，
整理得恒成立，解得，经检验当时，函数是奇函数.
故答案为：
4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【答案】
【解析】依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案为：
考向一 奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(2)f(x)＝eq \r(3－2x)＋eq \r(2x－3)；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；
(5)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x0时，－x0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x)－f(－x)＝x[lg (x＋ eq \r(x2＋1))＋lg (－x＋ eq \r(x2＋1))]＝0，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．
(2) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)≥0，,1－x≠0，))解得－1≤x0.
因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
(4) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))解得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域关于原点对称．
因为f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x)，
所以f(x)＋f(－x)＝ eq \f(\r(4－x2),x)－ eq \f(\r(4－x2),x)＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
【答案】-2
【解析】
因为图像关于对称，则，
，
故是以8为周期的周期函数，
故答案为：.
变式1、函数满足，且在区间上，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，所以．
变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x0，))则f(2 023)＝________.
【答案】 －1
【解析】 当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
例3、（1）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
【答案】C
【解析】 是定义域为的偶函数，所以，因为，，所以，又在上单调递减，所以． 故选C．
（2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】由函数f(x)的特征可知：函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，则f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D．
变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
【解析】 (1) 由题意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2) 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，
所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(x)＝f(－x)，
所以f(x)为偶函数．
(3) 由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，
f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(1)＝0，
所以f(x)＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))).
不妨设x1>x2>0，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＝f(x1)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))＝f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为偶函数．
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
因为f(x－1)