新高考数学一轮复习考点分类讲与练第36讲 平面向量的数量积（2份，原卷版+解析版）

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1、向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；
当θ＝eq \f(π,2)时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
2、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs θ，其中θ是a与b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3、平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cs θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cs θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
4、向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
5、平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
6、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))； (2)a·b＝x1x2＋y1y2；
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_ (4)cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）） 正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
4、（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知向量，满足，，则______．
5、22年全国乙卷】已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
6、【2020年新课标2卷文科】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
7、【2020年新课标3卷理科】已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
1、已知a·b＝－12 eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为( )
A. 12 B. 6 C. 3 eq \r(3) D. 3
2、（多选）（2022·广州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是( )
A. a·b＝5 B. |a－b|＝ eq \r(5)
C. 〈a，b〉＝ eq \f(π,4) D. a∥b
3、（2022·广州三模）已知a，b为单位向量，若 |a－2b|＝ eq \r(5)，则|a＋2b|＝ ．
4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
考向一 平面向量的夹角及模的问题
例1、（1）（届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
（3）（2022·河北深州市中学高三期末）若向量，满足，且，则______．
变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1， eq \r(2)），则向量a，b的夹角为 ．
变式2、 若非零向量a，b满足|a|＝ eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为 .
变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 ．
.
变式4、（2019春•泉州期末）（多选题）中，，，，在下列命题中，是真命题的有
A．若，则为锐角三角形
B．若．则为直角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为直角三角形
方法总结：求向量的夹角，有两种方法：
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求得．
(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．
考向二 平面向量中的垂直
例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量，，，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
变式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为( )
A.eq \f(22,15) B.eq \f(10,3) C.6 D.eq \f(12,7)
变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1) 若a⊥b，求x的值；
(2) 若a∥b，求|a－b|的值．
方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。
考向三 平面向量的数量积的运算
例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，其中，，，，，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
变式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，点E满足，则（ ）
A．B．C．3D．6
变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，则 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝ ．
变式3、 在△ABC中，∠BAD＝60°， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝1， eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝1，则| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ ．
方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知，为单位向量，且，则，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量、满足，且在上的投影的数量为，则（ ）
A．B．C．D．
3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）
A．B．C．D．
4、（2022·山东日照·高三期末）已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
5、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角为30°D．向量在上的投影向量为
6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是（ ）
A．B．
C．点､､…一定在一条直线上D．､在向量方向上的投影一定相等