新高考数学一轮复习考点分类讲与练第63讲 圆与圆的位置关系（2份，原卷版+解析版）

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1、圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2＞0).
2、常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
1、（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】（填，都正确）．
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：
，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
，的斜率为，设直线，即，
由，解得（负值舍去），则；
由图可知，；与关于直线对称，
联立，解得与的一个交点为，在上取一点，
该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．
，则，即．
与圆和都相切的一条直线的方程为：
（填，都正确）．
故答案为：（填，都正确）
1、若圆与圆外切，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，，所以．
2、圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】 圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝eq \r(－1－32＋2－22)＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.
3、圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－4)2＝9的位置关系为( )
A. 内切 B. 相交
C. 外切 D. 相离
【答案】 C
【解析】 由题意，得两圆心距离d＝5，r1＋r2＝2＋3＝5，所以两圆外切．
4、 已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，则圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程为_______________________________．
【答案】 4x＋3y－23＝0
【解析】 圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
考向一 圆与圆的位置关系
例1、已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)当两圆内切时，因定圆的半径eq \r(11)小于两圆圆心距5，故只有eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11).
(3)当m＝45时，4－eq \r(11)＜|MN|＝5＜eq \r(11)＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦长为2eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).
变式1、（1）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．
【答案】 eq \f(9,4)
【解析】 由圆C1与圆C2相外切，可得 eq \r((a＋b)2＋(－2＋2)2)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式，得ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立．故ab的最大值为 eq \f(9,4).
（2）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1， 则 a2＋b2的最小值为__________．
【答案】 eq \f(1,2)
【解析】 由圆C1与圆C2内切，得 eq \r((a＋b)2＋(－2＋2)2)＝1，即(a＋b)2＝1.又由基本不等式 eq \f(a2＋b2,2)≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)，可知a2＋b2≥ eq \f((a＋b)2,2)＝ eq \f(1,2)，当且仅当a＝b时等号成立，故a2＋b2的最小值为 eq \f(1,2).
变式2、(1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．
(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
【答案】：(1)x－2y＋4＝0 (2)2 (3)x＝eq \f(3,2)
【解析】：(1)两圆的方程相减得：x－2y＋4＝0．
(2)两圆圆心距d＝eq \r(74)＜eq \r(66)＋eq \r(64)，∴两圆相交，故有2条公切线，
(3)⊙O的圆心为(0，0)，半径为eq \r(2)，⊙O′的圆心为(4，0)，半径为eq \r(6)，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝eq \f(3,2)
方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
考向二 圆与圆的综合问题
例2、（2022·山东临沂·高三期末）已知圆：，圆：，在圆上，在圆上，则（ ）
A．的取值范围是B．直线是圆在点处的切线
C．直线与圆相交D．直线与圆相切
【答案】ABD
【解析】圆：的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为2，
观察图象可得，所以的取值范围是，A对，
∵，∴ 点在直线上，
又到直线的距离，又圆的半径为1，
∴直线是圆在点处的切线，B对，
∵ 点在圆上， ∴，
∴ 到直线的距离，又圆的半径为2，
∴直线与圆相离，C错，
圆的圆心为，半径为，
点到直线的距离，
∴直线与圆相切，D对，
故选：ABD.
变式、（2022·湖北武昌·高三期末）已知圆O的方程为，P是圆C：上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】如图，
设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|=|PB|=，
∴．
P是圆C：上一点，
，
，
令,
则在上递减，
所以当时，，此时P的坐标为，
当时，，此时P的坐标为，
∴的范围为．
故答案为：.
方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决
1、 （2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）圆关于直线对称的圆为，若圆和圆有公共点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
.
得.又设关于的对称点为，
则，故：.
又两圆有公共点，则.
故答案为：.
2、（2022·山东枣庄·高三期末）设与相交于两点，则________．
【答案】
【解析】
将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
3、（深圳市罗湖区期末试题）圆与圆公共弦长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.
故选:.
4、（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）（多选题）若过点的圆与两坐标轴都相切，且与过点和点的直线相离，设为圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆心的坐标为或
B. 面积的最大值为22
C. 当最小时，
D. 不存在点使
【答案】BCD
【解析】
【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为，由题意可得，解得或，
当时，圆心到直线：的距离为，
当时，圆心到直线：的距离为，
又圆与：相离， 所以圆心的坐标为，A错误；
因为点到直线的距离的最大值为，
所以，B正确；
当最小时，与圆相切，由对称性或勾股定理可得，C正确；
假设存在点使，则的外接圆圆的半径为，
设圆方程为，则
，解得或
又因为为圆上的动点，当圆心时，，
当圆心时，，所以圆与圆相离，点不存在，D正确，
故选：BCD
5、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程为B．以PM为直径的圆过定点
C．的最小值为6D．若直线PA与圆M切于点A，则
【答案】ABD
【解析】
圆M：配方得： ，
圆M关于直线对称，
直线过圆心.
,即
点P的轨迹方程为，A正确.
由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.
的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.
由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.
故选：ABD
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|