专题02 一元二次函数、方程和不等式-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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【考点1】基本不等式辨析 及其应用
【考点2】由一元二次不等式的解确定参数
【考点3】讨论含参一元二次不等式的解
【考点4】基本不等式的恒成立问题
【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法）
【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题
【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题
知识点 1 ：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
知识点2：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
题型归纳
【考点1】 基本不等式辨析 及其应用
1．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值
【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D.
【详解】对A，当时，则，故A错误；
对B，当时，则，则，故B错误；
对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误；
对D，若，则，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：D.
2．（多选）（2025·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C：令，则，，当且仅当时取等号，而，故C正确；
对于D：由，故，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BCD
3．（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值为B．有最小值为
C．有最小值为D．有最大值为
【答案】ABC
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求积的最大值
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
4．（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【知识点】指数幂的运算、比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值
【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D．
【详解】由题意，得，，，
对于A，，故A正确；
对于B，取，，则，故B错误；
对于C，取，，则，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：AD
5．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用重要不等式计算可得.
【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，
即的最小值为.
故答案为：
【考点2】由一元二次不等式的解确定参数
1．（多选）（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、由基本不等式证明不等关系
【分析】由韦达定理得出的关系：，判断AB，把用表示代入化简判断C，作差法判断D．
【详解】由题意可得和为方程的两根，
且，所以，即，，故A错误；
又，当且仅当等号成立，因为，所以，故B正确；
而
，故C正确；
因为，且，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
2．（多选）（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或x>12
【答案】BD
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出的关系，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可.
【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或，
∴，A选项错误；
BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系得，
则，
不等式，即，又，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确．
故选：BD
3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当x=1时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
4．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可.
【详解】由于，故不等式的解集为，所以.
这表明条件等价于关于的不等式的解集非空.
假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有.
而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件.
所以的最小值是.
故答案为：.
【考点3】讨论含参一元二次不等式的解
1．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.
【知识点】一次函数的图像和性质、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题、解含有参数的一元二次不等式
【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
(3) 不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
2．（2024·江西·模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题.
已知函数.
(1)若命题：“________，”为真命题，求实数的取值范围；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)选①，，选②；
(2)答案见解析．
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）选①，求出在上的最大值，由最大值即可得，选②，求出在上的最小值，由最小值即可得；
（2）不等式整理后因式分解，得相应方程的两个根，按根的大小分类讨论可得．
【详解】（1），对称轴是，
选①，，，则得，
选②，，，由得．
（2）不等式化简为，
，
当时，，，
时，，
当时，，．
综上，时解集为，时，解集为，时，解集为．
3．（2024·上海静安·二模）设(常数)，且已知是方程的根．
（1）求函数的值域；
（2）设常数，解关于x的不等式：
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【知识点】对勾函数求最值、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）由条件求出，得到，令，则，然后可得答案；
（2）原不等式可化为()，然后分、、、四种情况讨论求解即可.
【详解】（1）将代入方程，解得
故
令，则，因为
所以
即的值域为
（2）()
()
即()
1）当时，不等式的解集为；
2）当时，不等式的解集为；
3）当时，不等式的解集为．
4）当时，不等式的解集为．
【考点4】基本不等式的恒成立问题
1．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
所以，
当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
【答案】D
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．
故选：D
3．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 .
【答案】
【知识点】基本不等式的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围.
【详解】因为不等式恒成立，所以，
由，，
可得，
当且仅当时等号成立，
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
4．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法）
1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断命题的充分不必要条件
【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
2．（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断命题的充分不必要条件
【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若关于x的不等式对恒成立，
当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，
当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，
综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，
而选项中只有是的充分不必要条件.
故选：B.
3．（多选）（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】ABD
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可.
【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意；
当时，要满足，
而，
所以解得；
综上，实数a的取值范围是；
所以对比选项得，实数a可能是，0，1.
故选：ABD.
4．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据二次函数的性质得，即可求解.
【详解】由题意可知，，得.
故答案为：1,+∞
【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题
【分析】先由得，由基本不等式得，故.
【详解】当时，由得，
因，故，当且仅当即时等号成立，
因当时，恒成立，得，
故选：C
2．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围．
【详解】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
设，，其中在区间上单调递减，
所以有最小值为，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
3．（2024·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
4．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．
【详解】由不等式对恒成立，
可转化为对恒成立，即，
而，
当时，有最大值，所以，
故答案为：．
5．（23-24高二上·陕西西安·期中）若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】求得原命题的否定，再根据二次函数在区间上恒成立，列出不等式，求解即可.
【详解】原命题的否定为：“任意的，使得”为真命题，
令，则要满足题意，只需且，
即且，解得，即实数的取值范围是：.
故答案为：.
【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题
1．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴在递减，在递增，
，对称轴，
①即时，在递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，，所以，故；
③即时，在[0，1]递减，，
所以，解得，综上.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式
【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
3．（23-24高一上·上海普陀）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ．
【答案】
【知识点】根据函数的最值求参数、函数不等式能成立（有解）问题、对勾函数求最值、一次函数的图像和性质
【分析】求出函数在上的最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答.
【详解】依题意，函数在上单调递增，则当时，，
因对任意，总存在，使得，则存在， 成立，
则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，，
因此，在上的最大值只能在上取得
而当时，，在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，在上单调递增，，
由解得，于是得，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，
而，此时不存在使得成立，
综上得，即，
所以a的最大值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则.
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一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D.
【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确；
当时，，故C不正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确.
故选：C.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
则，又，所以，
从而．
故选：B．
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D
4．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用
【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值.
【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，在等式两边同时乘以，可得：
，
即，解得.
当且仅当时，即当时，取得最大值8.
故选：D.
5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知，，则下面结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则有最小值4D．若，则
【答案】C
【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】对于A. 利用基本不等式求解判断；对于B.取判断；对于C.利用基本不等式结合指数运算求解判断；对于D.利用作差法比较.
【详解】因为，，
对于选项A：若，则，当且仅当时取等号，A错误；
对于选项B：当时，式子不成立，B错误；
对于选项C：若，则，
当且仅当时取等号，C正确；
对于选项D：因为，且，
所以，故D错误．
故选：C．
6．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.
【详解】当时，，所以A错.
当时， ，所以B错.
当时，，所以C错.
若，则，则成立，所以D正确.
故选：D
7．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）．
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【知识点】分式不等式
【分析】原不等式等价于，构造函数，结合“三个”二次的关系，得到原不等式的解集，由韦达定理及题意可列出方程求解.
【详解】不妨设，
原不等式等价于，
整理得:，
因为，可设方程的两根为,
令,
则的零点为，原不等式即.
因为,
0,
结合二次函数图像，可知：.
则不等式的解集为,
则此解集的区间长度之和为,
因为由韦达定理可得，，
所以此不等式的解集的区间长度之和为,
解得k=1，
故选：A
8．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】先化简得出，再应用基本不等式常值代换计算即可.
【详解】因为，所以,
又因为，
当且仅当时取最小值9，
所以的最小值为5.
故选：C.
9．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意可得，需满足是的一个根，
即，且，所以，
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：A.
10．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由的解集为，可得，且方程的解为，
所以，则，所以，即，又，
所以，解得，即关于的不等式的解集为.
故选：C.
二、多选题
11．（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项.
【详解】当且仅当时取等号，A选项正确；
当且仅当时取等号，B选项错误；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确；
∵，∴，∴，D选项正确.
故选：ACD.
12．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
【答案】CD
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断.
【详解】对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
若不等式恒成立，
当时，是不可能成立的，
所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得是一元二次方程的两根，
从而，解得，
而当时，一元二次不等式满足题意，
所以的值为，故D正确.
故选：CD.
13．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为1B．的最小值3
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ABD
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值
【分析】运用可判断A项，由结合基本不等式可判断B项，令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项，由，结合换元法转化为求二次函数在区间上的最小值即可.
【详解】对于A项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故A项正确；
对于B项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故B项正确；
对于C项，令，，则，（，），
所以
，当且仅当，，即，时取等号，故C项错误；
对于D项，，
令，由A项知，，
则，（），
所以当时，取得最小值为，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题
14．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故答案为：12.
15．（2024·河南郑州·模拟预测）设，记为三个数中最大的数，则的最小值 ．
【答案】2
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】分类讨论的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论.
【详解】由，
①当时，，
而，可得至少有一个不小于2,
则的最小值为2；
②当时，
，
而，可得至少有一个不小于2，
的最小值不小于2.
综上，的最小值为2.
故答案为：2
16．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用不等式求值或取值范围、解不含参数的一元一次不等式
【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.
【详解】因为，
所以，解得，
所以，，
因为不等式组恰有3个整数解，
所以，
故答案为：.
17．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为x-1≤x≤3，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为x-1≤x≤3，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
四、解答题
18．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中．
(1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值；
(2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）设出不等式的解集区间，借助韦达定理及区间长度列式计算即得.
（2）由给定条件，可得及，再求出不等式的解集区间即可.
【详解】（1）依题意，设不等式的解集区间为，
则是方程的两个不等实根，且，，
即有，由，得，
解得，满足题意，
所以的值是．
（2）由且，得，
由及，得，则，
不等式化为，即，解得，
所以其解集区间长度为，范围为.
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集