2025届高考数学二轮总复习专题3数列第1讲等差数列等比数列课件

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1.等差数列、等比数列的基本运算
2.等差数列、等比数列的性质
3.等差数列、等比数列的判断与证明
4.求数列通项公式的常用方法(1)公式法.(2)已知an+1-an=f(n),求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1 (n≥2,n∈N*).
5.数列求和的常用方法
链高考1.(2024新高考Ⅱ,12)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　　. 
微点拨 在应用等比数列的此性质时,要注意Sm≠0,m为偶数且q=-1的情况不适用此公式.
链高考2.(2024全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=(　　)
链高考3.(2023新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙: 为等差数列,则(　　)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.当n=1时也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C.
链高考4.(2021新高考Ⅰ,17节选)已知数列{an}满足a1=1, an+1= 记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式.
解 b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.
链高考5.(2024全国甲,理18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)因为4Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,两式相减,得4an+1=3an+1-3an,即an+1=-3an,又4S1=3a1+4,则a1=4,故数列{an}是首项为4,公比为-3的等比数列,则an=4×(-3)n-1.(2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,所以Tn=4(1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1).3Tn=4(1×31+2×32+3×33+…+n·3n),
考点一　等差、等比数列基本量的运算
例1(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=(　　)
考点二　等差、等比数列的性质(多考向探究预测)
考向1等差数列性质的应用例2(1)(2023全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10, a4a8=45,则S5=(　　)A.25B.22C.20D.15
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=15,S9=99,则S6=　　　　. 
解析 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因为S3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.
考向2等比数列性质的应用例3(1)(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　)A.120B.85C.-85D.-120
(2)已知等比数列{an}满足lg2a2+lg2a13=1,且a5a6a8a9=16,则数列{an}的公比为(　　)
解析 设等比数列{an}的公比为q,由lg2a2+lg2a13=lg2(a2a13)=1=lg22,得a2a13=2且a2,a13>0,所以a13=a2q11>0,则q>0.又a5a6a8a9=16,a6a9=a2a13=2,所以a5a8=8,
[对点训练2](1)在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则数列{an}的前8项和为(　　)
解析 ∵{an}是等比数列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列,∵a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48,∴前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故选A.
(2)(2024山东淄博一模)已知等比数列{an}共有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q=　　　　. 
解析 依题意,a1+a3+a5+…+a2n+1=85,即a2q+a4q+…+a2nq=84,而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.
考点三　两数列的公共项问题
例4(2020新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　. 
解析 数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列构成的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{an}的前n项和为Sn=n×1 ×6=3n2-2n.
规律方法求两个数列公共项的两种方法
[对点训练3]已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2n,bn=2n,现从数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后,将余下的项按照从小到大的顺序进行排列,得到新的数列{cn},则数列{cn}的前150项之和为(　　)A.23 804B.23 946C.24 100D.24 612