海南省海口市2024-2025学年高三上学期10月摸底考试数学试卷及参考答案

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可根据交运算求解.
【详解】由于，故，
故，
故选：D
2. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断.
详解】由，，若，则，解得，
故“”是“”的充要条件，
故选：C
3. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，根据导数为负即可求解.
【详解】的定义域为0,+∞，
，
令，解得，
故单调递减区间为0,1，
故选：B
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断与的大小关系，然后计算即可.
详解】由题可知，，
故
故选：A
5. 海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（ ）
A. 24种B. 48种C. 98种D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】先排特殊，再一般，最后按照计数原理计算即可.
【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有种；
再安排剩下四天的行程有，所以一共有种安排方法.
故选：B
6. 如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，可得两两垂直，再补形成长方体，借助长方体求出球的表面积.
【详解】依题意，在三棱锥中，，
因此三棱锥可以补形成以为共点三条棱的长方体，
该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设球半径为，
则，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：C
7. 已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的最值可求得点到直线的距离的最小值.
【详解】设点的坐标为，
则点到直线的距离为，
当且仅当时，取最小值.
所以，点到直线的距离的最小值是.
故选：D.
8. 已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解.
【详解】记，则，
故为的奇函数，
又，
因此为上的单调递增函数，
因为，
由可得，进而，
故，解得，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校为了解学生的身体状况，随机抽取了50名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 频率分布直方图中的值为0.04
B. 这50名学生体重的众数约为52.5
C. 该校学生体重的上四分位数约为61.25
D. 这50名学生中体重不低于65千克的人数约为10
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用频率之和为1可判断选项A，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项B，由分位数的计算方法求解，即可判断选项C，利用频率即可计算个数求解D.
【详解】由，解得，故选项A正确；
50名学生体重的众数约为，故选项B正确；
因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在,的频率为，
所以计该校学生体重的分位数约为，故选项C正确．
体重不低于65千克的频率为，
所以这50名学生中体重不低于65千克的人数为人，故选项D错误；
故选：ABC．
10. 函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 关于对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据可得，代入最高点可得，进而求出函数的表达式，即可判断AB，代入验证即可判断C，根据平移即可求解D.
【详解】由图象可知，，解得，，
又，所以，即，
结合，可知，得的表达式为，故A正确，B错误，
对于C，由于，即的图象关于对称，故C正确；
对于D，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故D错误．
故选：AC．
11. 在平面直角坐标系中，已知两定点，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，其中，．下列选项正确的是（ ）
A. 当时，动点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，且除去，两点
B. 当时，动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且除去，两点
C. 当且时，动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且除去，两点
D. 当，时，动点的轨迹为曲线，过点且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点，显然，，，然后根据不同选项的情况判断即可.
【详解】设点，显然，，
当时，得且，，所以有动点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，且除去，两点，故选项A正确；
当时，有，显然因为，，所以动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且除去，两点，故选项B正确；
当且时，显然，，，得
当，即时，得动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且除去，两点；当，即时，得动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且除去，两点，故选项C错误；
当，时，得动点的轨迹为曲线的方程为，
过点且倾斜角为的直线方程为
设，
联立方程，，化简得
得
利用韦达定理可知
所以，故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用指数的运算法则计算即可.
【详解】由题可知
故答案为：3
13. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解.
【详解】由以及正弦定理可得，
故，即，
故.
故答案为：.
14. 已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，则，
令，其中，则，
当时，令，可得，列表如下：
且，，，，如图所示：

要使得存在唯一的负整数，使得，即，
只需，即，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记为数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，两个等式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.
【小问1详解】
解：因为为数列的前项和，且，
当时，则有，解得；
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，.
【小问2详解】
解：因为，
所以，
.
16. 如图，在正四棱柱中，，点满足，是的中点．
（1）证明：过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面交棱于点，利用面面平行的性质可得出，根据求出的值，可得出，由此可证得结论成立；
（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.
【小问1详解】
证明：在正四棱柱中，以点为坐标原点，、、的方向
分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设平面交棱于点，
设，则、、，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因为，，
因为，设，即，
所以，，解得，所以，，即且，
因此，过、、三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形.
【小问2详解】
解：因为，则、、、，
，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，
取，则，，所以，，
易知平面的一个法向量为n=0,1,0，
所以，，
所以，，
因此，二面角正弦值为.
17. 制定适合自己的学习计划并在学习过程中根据自己的实际情况有效地安排和调整学习方法是一种有效的学习策略．某教师为研究学生制定学习计划并坚持实施和数学成绩之间的关系，得到如下数据：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于分”有关联？
（2）若该校高三年级每月进行一次月考，该校学生小明在高三开学初认真制定了学习计划，其中一项要求自己每天要把错题至少重做一遍，做对为止．以下为小明坚持实施计划的月份和他在学校数学月考成绩的校内名次数据：
参考数据：，．
（ⅰ）求月考校内名次与时间代码的线性回归方程；
（ⅱ）该校老师给出了上一年该校学生高考（月初考试）数学成绩在校内的名次和在全省名次的部分数据：
利用数据分析软件，根据以上数据得出了两个回归模型和决定系数：
在以上两个模型中选择“较好”模型（说明理由），并结合问题（ⅰ）的回归方程，依据“较好”模型预测小明如果能坚持实施学习计划，他在次年高考中数学成绩的全省名次（名次均保留整数）．（参考数据：，，）
附：（ii），其中．
（i）对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，能认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于分”有关联
（2）（ⅰ），（ⅱ）模型②较好，全省名次预测为
【解析】
【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较作答，
（2）根据最小二乘法即可求解回归方程，利用决定系数的大小比较即可选择模型②，代入方程即可求解名次.
【小问1详解】
零假设：制定学习计划并坚持实施和数学成绩高于分没有关联
因为，
依据小概率值的独立性检验认为不成立，
即认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”有关联
【小问2详解】
（ⅰ），
，
，
．
回归直线方程为，
模型②较好，由于模型②与模型①相比较，模型②决定系数大于模型①，因此拟合效果更好，
由于回归直线方程为，当六月初月考时，，小明的月考校内名次预测值为，
故省内排名预测为.
18. 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个不同的零点，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，即可根据导数的正负确定函数的单调性，
（3）将问题转化为，构造，即可利用导数确定函数单调性求解.
【小问1详解】
当时，，则，
故，
故y=fx在处的切线方程为
【小问2详解】
，
当时，令f′x>0，解得或，令f′x0，解得或，令f′x0，解得，令f′x0恒成立，
要使有两个零点，则由两个交点，
故，解得
19. 对于二次曲线，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为．已知椭圆，，动圆，点是与在第一象限的交点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；
（3）若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆离心率公式计算即得.
（2）求出切线的方程，将代入即可得解.
（3）分别求出在点处的方程，结合两切线重合探讨点的坐标关系，再利用两点间距离公式，结合方程组的思想将表示为的函数，利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
在椭圆中，由，得，
所以椭圆的离心率.
【小问2详解】
椭圆，由，解得，
而，则，
圆在处切线方程为，又过焦点，则，
所以.
【小问3详解】
当时，椭圆，，设，
椭圆在处切线为，圆在处切线为，
由直线与均相切，得，即，
由，得，解得，
，当且仅当，即时取等号，
即的最大值为，所以AB的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第3问，利用公切线探求出两个切点坐标的关系是求解的关键.
增
极大值
减
成绩分
成绩分
合计
制定学习计划并坚持实施
没有制定学习计划
合计
50
月考时间
月初
月初
次年月初
次年月初
次年月初
时间代码
月考校内名次
校内名次
全省名次
模型①
模型②