重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
2．已知数列是等差数列，且满足，则等于( )
A.45B.60C.75D.90
3．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )
A.B.C.D.
4．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为( )
A.B.C.D.
5．已知Q为直线上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则( )
A.E是一个半径为的圆
B.E上的点到的距离均为
C.E是两条平行直线
D.E是一条与l相交的直线
6．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”( )
A.6天495人B.7天602人C.8天716人D.9天795人
7．已知数列满足,,等于的个位数，则( )
A.2B.4C.6D.8
8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M,N两点.若，则( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题
9．曲线，下列结论正确的有( )
A.若曲线C表示椭圆，则
B.若曲线C表示双曲线，则
C.若，则渐近线为
D.若，则短轴长为2
10．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点（点A在第一象限），过A,B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C,D，若与的面积之比为9，则下列说法正确的是( )
A.
B.直线的斜率为
C.
D.的面积为
11．已知双曲线的左，右焦点分别为,,O为坐标原点.过的直线l交双曲线C的右支于P,Q两点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点，点A,P均在第一象限，则( )
A.当l垂直于x轴时，
B.的最小值为6
C.点P到两条渐近线的距离之积为
D.
三、填空题
12．圆关于点对称的圆的方程为____.
13．已知点A,F分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点F到渐近线的距离为d，若，则双曲线C的离心率为____.
14．已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点F和点A，直线交椭圆C于P,Q两点，若F恰好为的重心，则____.
四、解答题
15．已知圆M经过,两点，且圆心M在直线上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)过点的直线l与圆M相交于两点，且为直角三角形，求l的方程.
16．已知等差数列的前n项和为，公差,,,.
(1)求k及数列的通项公式；
(2)记,，若,,成等差数列，求c并证明为等差数列.
17．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于M,N两点，设直线,的斜率分别为,，且，求证：直线l过定点.
18．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作直线l交双曲线的右支于A,B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值.
19．已知椭圆，圆,P为圆O上任意一点,动点Q为线段的中点，设点Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点作曲线E的两条切线分别交椭圆C于M,N，记两切线斜率分别为.
(i)求的值；
(ii)判断直线与曲线E的位置关系，并说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为，
故选：D.
2．答案：A
解析：由等差数列性质计算可得，即，
所以可得.
故选：A
3．答案：A
解析：圆的圆心为，而点，
所以
由题意可知，，
则，所以
所以弦所在的直线的方程为，
即.
故选：A.
4．答案：C
解析：由离心率为2可得，即，
又可知，
因此渐近线斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为，，
所以两条渐近线的夹角为.
故选：C
5．答案：B
解析：设，则，故，
故，故即，
故E为一条直线，该直线与l平行，它到l的距离为，
故ACD错误，B正确，
故选：B.
6．答案：B
解析：设第n天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
，，天
则目前派出的人数为人，
故选：B.
7．答案：D
解析：因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
故前10项为：2,3,6,8,8,4,2,8,6,8，
故数列从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为6，
故，
故选：D.
8．答案：D
解析：
如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，
因为，所以，
因为，所以，由抛物线定义知，，
而，所以，在中，因为，
所以，因为，所以，
由抛物线定义知，，所以为等边三角形，
所以,，可得点P的横坐标为，
设与x轴的交点为G，则，
因为直线的斜率为，
点，所以直线的方程为，
联立，消去y化简并整理得，，
解得或，则点N的横坐标为，又点P的横坐标为，
可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由，
所以，故
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A，若曲线C表示椭圆，则，解得，正确；
对于B,若曲线C表示双曲线，则，得，，
所以，正确；
对于C，若，则，则渐近线方程为：，错误；
对于D，若，则，则,，正确；
故选：ABD
10．答案：BCD
解析：由抛物线的定义可得,
因为，
,，
又因为与的面积之比为9，即，
所以，即，故A错误；
由题意得，设直线AB的方程为，,，
联立，消去x得，
所以，，
所以，，
因为与的面积之比为9，
即，
因为，所以，所以，
又因为，所以，，
由，可得，即，
所以直线AB的斜率为，故B正确；
而，
所以，故C正确；
的面积为，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：CD
解析：
对于A，当l垂直于x轴时，，故，
故此时，故A错误；
对于C，设，而渐近线方程为，
故点P到两条渐近线的距离之积为：
，
故C正确，
对于BD，因右焦点坐标为，
故可设，，
由可得，，
而，又，故，
此时，因，
故，当且仅当等号成立，故的最小值为3，
故B错误；
设,，由可得，
故，而，故，
故，故，故D正确，
故选：CD.
12．答案：;
解析：由题设可得，故C关于A的对称点的坐标为，
故圆心C关于A的对称圆的方程为：，
故答案为：.
13．答案：3
解析：不妨设双曲线的一个焦点设为，，
一条渐近线的方程设为，，由题意可得，
又，，即，
，.
故答案为：3
14．答案：
解析：设，，的中点为点，
，两式相减得，
化解得，即，
，，由F恰好为的重心，
则，即，得，，
即，，
所以，
又因为椭圆的离心率为，
所以，又因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：
15．答案：(1);
(2)或.
解析：(1)因为圆心M在直线上，
设圆M的标准方程为，
因为圆M经过，两点，
，解得，，
圆M的标准方程为.
(2)为直角三角形，,
圆心M到直线l的距离.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
则圆心到直线l的距离，不符合题意；
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，即，
圆心到直线l的距离，
，解得，
所以直线l的方程为或.
16．答案：(1)，；
(2)或，证明见解析；
解析：(1)设等差数列的首项为，
由，可得，即，
解得或（舍）；
因此可得；
即的通项公式为；
(2)由(1)可知，
所以，
由，，成等差数列，可得，
易知，，，可得，
整理可得，解得或；
证明如下：
当时，可得，
此时为常数，
所以是以为首项，公差的等差数列；
当时，可得，
此时为常数，
所以是以为首项，公差的等差数列；
17．答案：(1)；
(2)直线l过定点，证明见解析.
解析：(1)由题意得：，解得，所以抛物线C的方程为.
(2)由(1)得，设，，，，
则，
则，直线l的方程为，
则，
所以直线l过定点.
18．答案：(1)；
(2)12.
解析：(1)因为双曲线的实轴长为2，故，
而双曲线的渐近线为，
故右焦点到渐近线的距离为，
故双曲线的方程为：.
(2)显然直线l与y轴不垂直，设l：，，，
由双曲线的对称性知的中点为O，故，
联立
故，，
由于A，B均在双曲线右支，故，故，
而，
代入韦达定理得，
令，则，
易知在上为减函数，则当时，，
综上：的面积的最小值为12.
19．答案：(1);
(2)(i)，
(ii)相切，理由见解析
解析：(1)设，由动点Q为线段的中点，
由中点坐标公式可得：，
代入圆O方程，可得：，
化简可得：，
故曲线E的方程为：；
(2)(i)设切线方程为：，
则，化简可得：，①
所以；
(ii)联立，消去y可得：，
则方程异于的根为：，由结合①，
化简可得：，
代入直线方程可得：，再结合①化简可得：，
所以M,N两点坐标为：,，
则，
所以的方程为：，
化简可得：，即，
此时圆心到的距离为：，
故直线与曲线E相切.