2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十四微专题3成对数据的统计分析

这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十四微专题3成对数据的统计分析，共7页。
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知iyi＝448.
(1)求m，n的值；
(2)如果该月人均劳动时间超过13 h，则该月份“达标”．从表格中的7组数据中随机选5组，设ξ表示“达标”的数据组数，求ξ的分布列和均值．
参考公式：在经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(b,\s\up6(^)) x＋ eq \(a,\s\up6(^)) 中， eq \(b,\s\up6(^)) ＝.
解：(1) eq \(x,\s\up10(－))＝ eq \f(1,7) ×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(1,7) ×(8＋9＋n＋12＋m＋19＋22)＝ eq \f(70＋m＋n,7) ，
iyi＝1×8＋2×9＋3n＋4×12＋5m＋6×19＋7×22＝448，则3n＋5m＝106，
而 eq \\al(2,i) ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＝140，
所以 eq \(b,\s\up6(^)) ＝＝ eq \f(448－7×4×\(y,\s\up10(－)),140－7×42) ，整理得 eq \(b,\s\up6(^)) ＋ eq \(y,\s\up10(－))＝16，由 eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up10(－))＋ eq \f(32,7) ，
得 eq \(y,\s\up10(－))＝4 eq \(b,\s\up6(^)) ＋ eq \f(32,7) ，
联立解得 eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(16,7) ， eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(96,7) ，则m＋n＝26，又3n＋5m＝106，所以m＝14，n＝12.
(2)依题意，ξ的可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(4,4) ,C eq \\al(5,7) ) ＝ eq \f(1,7) ，P(ξ＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,3) C eq \\al(3,4) ,C eq \\al(5,7) ) ＝ eq \f(4,7) ，P(ξ＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,3) C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(5,7) ) ＝ eq \f(2,7) ，
ξ的分布列为
所以E(ξ)＝1× eq \f(1,7) ＋2× eq \f(4,7) ＋3× eq \f(2,7) ＝ eq \f(15,7) .
2．(2024·菏泽模拟)随着牡丹花期结束，某市牡丹园为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对200位游客进行了满意度调查，其中100位男性中有86位满意；100位女性中有94位满意．
(1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否推断游客对该牡丹园的满意度与性别有关；
(2)若用频率估计概率，从该牡丹园的游客中随机选取3人，设3人中满意的人数为X，求X的分布列和均值．
附：χ2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)将所给数据进行整理，得到男性和女性满意度的列联表，如表所示：
单位：人
零假设为H0：游客对该牡丹园的满意度与性别无关，即男性和女性的满意度没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝ eq \f(200×（86×6－14×94）2,100×100×180×20) ≈3.556>2.706＝x0.1.
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为游客对该牡丹园的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.1.
(2)依题意，每个游客满意的概率为 eq \f(86＋94,200) ＝ eq \f(9,10) ，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(9,10))) ，
因为P(X＝0)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(1,1 000) ，
P(X＝1)＝C eq \\al(1,3) × eq \f(9,10) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(27,1 000) ，
P(X＝2)＝C eq \\al(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10))) eq \s\up12(1) ＝ eq \f(243,1 000) ，
P(X＝3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(729,1 000) .
所以X的分布列为
E(X)＝3× eq \f(9,10) ＝ eq \f(27,10) .
3．(2024·重庆模拟)某公司在产品研发领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表．
(1)公司拟用①y＝bx＋a和②y＝enx＋m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；( eq \(a,\s\up6(^)) ， eq \(b,\s\up6(^)) ， eq \(m,\s\up6(^)) ， eq \(n,\s\up6(^)) 计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位)
(2)根据下表数据，用决定系数R2(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7(单位：百万元)时，产品的年销售量是多少？
参考公式及数据： eq \(b,\s\up6(^)) ＝， eq \(a,\s\up6(^)) ＝ eq \(y,\s\up10(－))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up10(－))，R2＝1－，iyi＝121， eq \\al(2,i) ＝91，
izi＝28.9， eq \(z,\s\up10(－))＝0.85，e2.8≈16.4，e3≈20.1.
解：(1) eq \(x,\s\up10(－))＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6) ＝3.5，
eq \(y,\s\up10(－))＝ eq \f(0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12,6) ＝4，
所以 eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(121－6×3.5×4,91－6×3.52) ＝ eq \f(37,17.5) ≈2.11，
eq \(a,\s\up6(^)) ＝4－ eq \f(37,17.5) ×3.5＝－3.40，
所以 eq \(y,\s\up6(^)) ＝2.1x－3.4.
由 eq \(y,\s\up6(^)) ＝e eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^)) ，两边取以e为底的对数得ln eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^)) ，即 eq \(z,\s\up6(^)) ＝ eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^)) ，
eq \(n,\s\up6(^)) ＝ eq \f(28.9－6×3.5×0.85,91－6×3.52) ＝ eq \f(11.05,17.5) ≈0.63， eq \(m,\s\up6(^)) ＝0.85－ eq \f(11.05,17.5) ×3.5＝－1.36，
所以 eq \(z,\s\up6(^)) ＝0.63x－1.36，所以 eq \(y,\s\up6(^)) ＝e0.6x－1.4.
(2)(yi－ eq \(y,\s\up10(－)))2＝(0.5－4)2＋(1－4)2＋(1.5－4)2＋(3－4)2＋(6－4)2＋(12－4)2＝96.5，
对于 eq \(y,\s\up6(^)) ＝2.1x－3.4，R eq \\al(2,1) ＝1－ eq \f(18.29,96.5) ；
对于 eq \(y,\s\up6(^)) ＝e0.6x－1.4，R eq \\al(2,2) ＝1－ eq \f(0.65,96.5) ，
因为R eq \\al(2,1) 7.879＝x0.005，
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为PM2.5的平均浓度与燃油车日流量有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)①由题意，得 eq \(b,\s\up6(^)) ＝＝0.12，
得(xi－ eq \(x,\s\up10(－)))(yi－ eq \(y,\s\up10(－)))＝0.12(xi－ eq \(x,\s\up10(－)))2，
由sx＝＝249，
sy＝＝36，
得r＝＝
＝
0．12×＝0.12× eq \f(249,36) ＝0.83>0.75，
所以该经验回归方程有价值．
②因为sx＝＝249，
即＝249，
所以 eq \(x,\s\up10(－))＝≈1 548.55，
又 eq \(y,\s\up10(－))＝0.12 eq \(x,\s\up10(－))－73.86≈0.12×1 548.55－73.86＝111.966≈112.0.
故可推算出这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数 eq \(y,\s\up10(－))约为112.0.
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y
8
9
n
12
m
19
22
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,7)
eq \f(4,7)
eq \f(2,7)
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
性别
满意度
合计
满意
不满意
男
86
14
100
女
94
6
100
合计
180
20
200
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,1 000)
eq \f(27,1 000)
eq \f(243,1 000)
eq \f(729,1 000)
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z＝ln y
－0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
经验回归方程
eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(b,\s\up6(^)) x＋ eq \(a,\s\up6(^))
eq \(y,\s\up6(^)) ＝e eq \(n,\s\up6(^)) x＋ eq \(m,\s\up6(^))
残差平方和(yi－ eq \(y,\s\up6(^)) i)2
18.29
0.65
PM2.5的
平均浓度
燃油车日流量
合计
小于1 500
不小于1 500
小于100
16
24
不小于100
20
合计
22
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
PM2.5的平均浓度
燃油车日流量
合计
小于1 500
不小于1 500
小于100
16
8
24
不小于100
6
20
26
合计
22
28
50