2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十微专题2立体几何中的证明与计算

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(1)证明：∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；
(2)当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB.
证明：(1)由题意及题图知，CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，
因为AB⊂平面ABC，所以VN⊥AB.
又因为CD∩VN＝N，CD，VN⊂平面VNC，所以AB⊥平面VNC，
因为DM⊂平面VNC，
所以AB⊥DM，又AB⊥CD，所以∠MDC为二面角M-AB-C的平面角．
(2)由已知，∠MDC＝∠CVN，在△VNC与△DMC中，∠NCV＝∠MCD，所以△VNC∽△DMC，又因为∠VNC＝90°，所以∠DMC＝∠VNC＝90°，故有DM⊥VC，由(1)得AB⊥平面VNC，VC⊂平面VNC，所以AB⊥VC，
又AB∩DM＝D，AB，DM⊂平面AMB，所以VC⊥平面AMB.
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，M为PB的中点．
(1)求证：EM∥平面PCD；
(2)若AP＝AD，AB＝ eq \r(2) AD，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，取PC的中点为F，连接MF，DF，
则MF∥BC∥DE，且MF＝ eq \f(1,2) BC＝DE，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以DF∥EM，
因为DF⊂平面PCD，EM⊄平面PCD，
所以EM∥平面PCD.
(2)解：因为AD⊥平面PAB，PA，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PA，AD⊥PB.以A为坐标原点，以在平面PAB内垂直于AB的直线为x轴，AB，AD所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
设AD＝2，则AP＝2，AB＝2 eq \r(2) .
因为PA⊥PB，所以∠PAB＝45°.
所以P( eq \r(2) ， eq \r(2) ，0)，B(0，2 eq \r(2) ，0)，E(0，0，1)，C(0，2 eq \r(2) ，2)，M( eq \f(\r(2),2) ， eq \f(3\r(2),2) ，0)，所以 eq \(EC,\s\up10(→)) ＝(0，2 eq \r(2) ，1)， eq \(PC,\s\up10(→)) ＝(－ eq \r(2) ， eq \r(2) ，2)， eq \(EM,\s\up10(→)) ＝( eq \f(\r(2),2) ， eq \f(3\r(2),2) ，－1).
设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(PC,\s\up10(→))＝0，,n·\(EC,\s\up10(→))＝0，,)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(2)x＋\r(2)y＋2z＝0，,2\r(2)y＋z＝0，))
不妨令y＝－1，得z＝2 eq \r(2) ，x＝3，所以n＝(3，－1，2 eq \r(2) )，
设直线EM与平面PCE所成的角为θ，
则sin θ＝|cs 〈 eq \(EM,\s\up10(→)) ，n〉|＝ eq \f(|\(EM,\s\up10(→))·n|,|\(EM,\s\up10(→))||n|) ＝ eq \f(2\r(2),\r(6)×3\r(2)) ＝ eq \f(\r(6),9) ，
所以直线EM与平面PCE所成角的正弦值为 eq \f(\r(6),9) .
3.(2024·佛山二模)如图，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D为上底面ABC内一点．
(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与B1D垂直，应该如何画线，请说明理由；
(2)若BC＝BB1＝1，AB＝2，∠A1B1C1＝ eq \f(π,2) ，E为A1B1的中点，求点B到平面AC1E的距离．
解：(1)连接BD，在平面ABC上作l⊥BD，
因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC，因为l⊂平面ABC，所以BB1⊥l，
因为BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以l⊥平面BB1D，
因为B1D⊂平面BB1D，所以l⊥B1D.
(2)因为∠A1B1C1＝ eq \f(π,2) ，
所以B1A1，B1C1，B1B两两互相垂直，以B1为原点，分别以B1A1，B1C1，B1B所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(0，0，1)，A(2，0，1)，E(1，0，0)，C1(0，1，0)，则 eq \(BA,\s\up10(→)) ＝(2，0，0)， eq \(EA,\s\up10(→)) ＝(1，0，1)， eq \(EC1,\s\up10(→)) ＝(－1，1，0).
设平面AC1E的法向量为m＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(EA,\s\up10(→))＝0，,m·\(EC1,\s\up10(→))＝0，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋z＝0，,－x＋y＝0，))
取x＝1，则m＝(1，1，－1)，
设点B到平面AC1E的距离为d，
则d＝ eq \f(|\(BA,\s\up10(→))·m|,|m|) ＝ eq \f(2\r(3),3) ，
因此点B到平面AC1E的距离为 eq \f(2\r(3),3) .
4．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O，
因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，
因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1，
因为A1O⊂平面ACC1A1，所以BC⊥A1O，
又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
所以A1O⊥平面BCC1B1，所以A1O＝1.
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1O＝1，
所以O为CC1的中点，又A1O⊥CC1，所以A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，
所以A1C＝AC.
(2)如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，则A1F⊥BB1，
因为AA1与BB1的距离为2，所以A1F＝2，
又A1O＝1且A1C＝AC，
所以A1C＝A1C1＝AC＝ eq \r(2) ，AB＝A1B1＝ eq \r(5) ，BC＝ eq \r(3) .
以C为坐标原点，以CA，CB，CA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，
则C(0，0，0)，A( eq \r(2) ，0，0)，B(0， eq \r(3) ，0)，
B1(－ eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(2) )，C1(－ eq \r(2) ，0， eq \r(2) )，
所以 eq \(CB,\s\up10(→)) ＝(0， eq \r(3) ，0)， eq \(CC1,\s\up10(→)) ＝(－ eq \r(2) ，0， eq \r(2) )，
eq \(AB1,\s\up10(→)) ＝(－2 eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(2) )，
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(CB,\s\up10(→))＝0，,n·\(CC1,\s\up10(→))＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(3)y＝0，,－\r(2)x＋\r(2)z＝0，))
取x＝1，则y＝0，z＝1，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1).
设AB1与平面BCC1B1所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈n， eq \(AB1,\s\up10(→)) 〉|＝ eq \f(|n·\(AB1,\s\up10(→))|,|n||\(AB1,\s\up10(→))|) ＝ eq \f(\r(13),13) .
所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 eq \f(\r(13),13) .
5．如图，在四边形ABCP中，△ABC是边长为2 eq \r(3) 的正三角形，CP＝CA，将△ACP沿AC翻折，使点P到达P′的位置，若平面P′BC⊥平面ABC，且BC⊥AP′.
(1)求线段AP′的长；
(2)设点M在线段P′C上，且满足MC＝2P′M，求二面角P′-AB-M的余弦值．
解：(1)如图，取BC的中点O，连接AO，P′O，
因为△ABC为正三角形，O为BC的中点，所以AO⊥BC，
又BC⊥AP′，AO∩AP′＝A，AO，AP′⊂平面AP′O，
所以BC⊥平面AP′O，又P′O⊂平面AP′O，
所以BC⊥P′O，所以BP′＝CP′＝2 eq \r(3) ，
即△P′BC为正三角形，所以OP′＝3.
又平面P′BC⊥平面ABC，平面P′BC∩平面ABC＝BC，AO⊥BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面P′BC，又P′O⊂平面P′BC，所以AO⊥P′O，
又AO＝3，所以AP′＝ eq \r(AO2＋OP′2) ＝3 eq \r(2) .
(2)结合(1)知P′O⊥平面ABC，
AO⊥BC，所以以O为坐标原点，OA，OB，OP′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，B(0， eq \r(3) ，0)，P′(0，0，3)，M(0，－ eq \f(\r(3),3) ，2)，
eq \(AB,\s\up10(→)) ＝(－3， eq \r(3) ，0)， eq \(AP′,\s\up10(→)) ＝(－3，0，3)， eq \(BM,\s\up10(→)) ＝(0，－ eq \f(4\r(3),3) ，2).
设平面P′AB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AB,\s\up10(→))＝0，,m·\(AP′,\s\up10(→))＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3x1＋\r(3)y1＝0，,－3x1＋3z1＝0，))
取x1＝1，则m＝(1， eq \r(3) ，1).
设平面ABM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up10(→))＝0，,n·\(BM,\s\up10(→))＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3x2＋\r(3)y2＝0，,－\f(4\r(3),3)y2＋2z2＝0，))
取x2＝1，则n＝(1， eq \r(3) ，2).
所以cs〈m，n〉＝ eq \f(m·n,|m||n|) ＝ eq \f(6,\r(5)×\r(8)) ＝ eq \f(3\r(10),10) .
由图知二面角P′-AB-M为锐角，
所以二面角P′-AB-M的余弦值为 eq \f(3\r(10),10) .
6.如图，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD为矩形且垂直于侧面SAB，O为AB的中点，SA＝SB＝AB＝2，AD＝ eq \r(2) .
(1)证明：BD⊥平面SOC；
(2)侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为 eq \f(1,5) ？若存在，求 eq \f(SE,SD) 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为SA＝SB＝AB，O为AB的中点，
所以SO⊥AB.
因为平面ABCD⊥平面SAB，平面ABCD∩平面SAB＝AB，SO⊂平面SAB，所以SO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以SO⊥BD.
因为 eq \f(CB,BO) ＝ eq \f(BA,AD) ＝ eq \r(2) ，∠CBO＝∠BAD＝90°，
所以△CBO∽△BAD，故∠BCO＝∠ABD，所以∠ABD＋∠COB＝∠BCO＋∠COB＝90°，所以BD⊥CO.又CO∩SO＝O，CO，SO⊂平面SOC，所以BD⊥平面SOC.
(2)如图，在底面ABCD中，过点O作OM垂直AB交棱CD于点M，以O为坐标原点，OS，OA，OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
由已知得，O(0，0，0)，A(0，1，0)，B(0，－1，0)，C(0，－1， eq \r(2) )，D(0，1， eq \r(2) )，S( eq \r(3) ，0，0).
假设存在满足条件的点E，设 eq \f(SE,SD) ＝λ(0≤λ≤1)，
则E( eq \r(3) － eq \r(3) λ，λ， eq \r(2) λ)，
连接AE，BE，则 eq \(AE,\s\up10(→)) ＝( eq \r(3) － eq \r(3) λ，λ－1， eq \r(2) λ)， eq \(AB,\s\up10(→)) ＝ eq \(DC,\s\up10(→)) ＝(0，－2，0)， eq \(DS,\s\up10(→)) ＝( eq \r(3) ，－1，－ eq \r(2) ).
设n＝(x，y，z)为平面SCD的法向量，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up10(→))＝0，,n·\(DS,\s\up10(→))＝0，,)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2y＝0，,\r(3)x－y－\r(2)z＝0，))
则y＝0，令x＝ eq \r(2) ，可得n＝( eq \r(2) ，0， eq \r(3) ).
设m＝(x1，y1，z1)为平面ABE的法向量，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AB,\s\up10(→))＝0，,m·\(AE,\s\up10(→))＝0，,))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2y1＝0，,（\r(3)－\r(3)λ）x1＋（λ－1）y1＋\r(2)λz1＝0，))
则y1＝0，令x1＝ eq \r(2) λ，可得m＝( eq \r(2) λ，0， eq \r(3) λ－ eq \r(3) ).
因此|cs 〈m，n〉|＝ eq \f(|m·n|,|m||n|) ＝ eq \f(|2λ＋3λ－3|,\r(5λ2－6λ＋3)×\r(5)) ＝ eq \f(1,5) ，
解得λ＝ eq \f(1,2) 或λ＝ eq \f(7,10) ，所以 eq \f(SE,SD) ＝ eq \f(1,2) 或 eq \f(SE,SD) ＝ eq \f(7,10) .