2024-2025学年北京市海淀区高三上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区高三上册期中考试数学检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，那么
A．B．
C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
3．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量满足，则（ ）
A．B．0C．5D．7
5．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
6．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A．B．3C．9D．36
7．已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
10．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．函数的定义域为
12．边长为1的正方形ABCD中，设，，，则 ．
13．设等比数列的公比为,其前n和为,且,则 ; ．
14．如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值. 这段时间的最大温差为 ；的一个取值为 .
15．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存在最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．在中，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
17．已知函数（）在处取得极小值.
(1)求a的值，并求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求函数的值域.
(3)若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围.
19．某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）

(1)求两点之间的距离；
(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
20．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；
(3)试比较与的大小，并说明理由．
21．已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．
(1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;
(2)若具有性质,证明:;
(3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．
答案：
1．B
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，
B＝{x|x2≤5}＝{x|}，
∴A∩B＝{﹣2，0，2}．
故选B．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
3．C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
4．C
【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.
【详解】因为，所以，
故.
故选：C
5．D
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】对于，由二项展开式的通项得，
令解得，
则所求系数为，
故选：D
6．C
【分析】先求得的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，则，
也即，所以，
当且仅当时等号成立.
故选：C
7．C
【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】因为定义域为，，
所以为奇函数，且为上的增函数.
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，
，即，
所以“”是“”成立的必要条件.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
8．D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
9．A
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
10．B
【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.
【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，
因为求跳跃次数的最小值，则只取，
设对应的跳跃次数分别为，其中，
可得
则，两式相加可得，
因为，则或，
当时，则次数为；
当，则次数为；
综上所述：次数最小值为10.
故选：B.
11．
【分析】通过对数函数的定义域即可求得答案.
【详解】根据题意，可知，解得，故定义域为.
本题主要考查函数定义域的相关计算，比较基础.
12．2
【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；
在正方形ABCD中，，，，
则，
∴．
故2．
13． /15.5
【分析】由等比数列通项公式可求出从而求出,再代入等比数列前项和公式即可求出.
【详解】由,又因为,所以;
所以；
故答案为: 8； .
14． （答案不唯一）
【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得，，，代入点，可得.
【详解】由图像可知最大值为，最小值为，
所以最大温差为，
即，解得，
又由已知可得，即，
且，所以，
所以函数解析式为，
又函数图像经过点，
代入得，
所以
解得，，
所以的一个可能取值为（答案不唯一），
故，（答案不唯一）.
15．①③
【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④.
【详解】对①，当时，，
当时，，当时，，
综上，的最小值为，①正确；
对②，，，
当时，，
当时，若，；若，，
如时，，函数不存在最小值，②错误；
对③，当时，最多一个解，
得或，
如时，，由可得(舍去)，
由得或，故此时两个零点，即；
如时，，由可得，
由得或，故此时三个零点，即；
当时，，由可得，
由得，故此时一个零点，即；
当时，，时，，无解，
时，，无解，
此时没有零点，即.
综上，的值域为，故③正确；
对④，当时，如时，，
，，，此时，故④错误.
故①③
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
16．(1)或
(2)或
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
且，所以或.
（2）由（1）可知或，且，，所以
即，由余弦定理可得，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)最大值为，最小值为1.
【分析】（1）求导，根据得到，由f′x>0求出单调递增区间，由f′x0得或，令f′x