2024-2025学年福建省厦门市高二上册12月联考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省厦门市高二上册12月联考数学检测试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数列的一个通项公式是----------------------------------------------------（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，且，则等于--------------------------------------------------------------（ ）
A．－3B．－2C．0D．1
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和且a3＝－6，a7＝6，则----------------------------------------------------------------（ )
A．S4＝S5B．S5＝S6C．S4>S6D．S5>S6
4．如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是---------------------------------------（ ）
A．45°B．90°C．30°D．60°
5．若双曲线的渐近线与已知圆相切，则-----------------------------（ ）
A．B．3C．2D．
6．若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为--------------------------（ ）
A．B．C．D．
7．过点的直线交抛物线于两点(异于坐标原点),若，则该直线的方程为---------------------------------------------------------------（ ）
A．B．C．D．
8．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则-------------------（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．如图，在正方体中，分别是的中点．下列结论正确的是-------------（ ）
A．与垂直B．与平面
C．与所成的角为D．平面
10．下列说法正确的是---------------------------------------（ ）
A．过点且垂直于直线的直线方程为
B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为
C．曲线过点的最短弦长为；
D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围
11．若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，则---------------------------------------------------------------（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是“平方递推数列”D．是“平方递推数列”
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．若数列{}的前n项和为，则=．
13．已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为.
14．已知为正方体外接球的球心，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为.
四、解答题（共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．本小题13分
如图所示，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.
（1）求AB、BC、CD的长；
（2）以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
本小题15分
已知椭圆，焦距为2，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积.
本小题15分
如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD.
(1)求证：；
(2)直线PB与平面APD所成角的正弦值；
(3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.
本小题17分
等差数列{an}的前项和为，，其中成等比数列，且数列{an}为非常数数列.
（1）求数列通项；
（2）设，的前项和记为，求证.
本小题17分
已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
答案及评分标准
考试内容：选择性必修一 选择性必修二等差数列
一、单选题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B
【详解】观察数字规律可知：每项的符号是交替出现，故有，除去符号则为一个以为公比，
首项为的等比数列，所以通项公式为： ，故整个数列的通项为：，
故选：B.
A
【详解】根据题意,设等差数列的公差为d,首项为a1，
若,则有+4d=9，又由,则2(+2d)=(+d)+6，解可得d=3,=−3；
故选A.
A
解析：∵a3＋a7＝2a5＝0，∴a5＝0，∴S4＝S5.
答案：A
C
【详解】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz．
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），S（0， 0 ，a） ，P（，0，），则（0，﹣2a， 0），（，a， ），（﹣a，﹣a，0），
设平面PAC的一个法向量为，
则，，∴，可取（1，0，1），
设直线与平面的夹角为，则，
由，，
故选：C
5．A
【分析】先解出双曲线的渐近线方程，进而用点到直线距离解出即可.
【详解】双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，
所以圆心为，半径r=1，依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）.所以.
故选：A.
6．C
【详解】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，
联立抛物线整理得：，则，，
故，，
若，，
所以，，故.
故选：C
B
【详解】设直线的方程为
联立 整理化简可得：，
，也即 （*）
因为，所以，则，
或 满足（*）
但是当直线方程为时，与抛物线的交点其中一个为坐标原点，
不满足 ，故舍去．∴，该直线的方程为 即，
故选.
8．B
【详解】由题意可知，则对任意的，，则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．ABD
【详解】对A：连接，，则交于，又为中点，
可得，由平面，平面，
可得，故，故A正确；
对B：连接，，由正方体性质可知平面，
可得平面，故B正确；
对C：与所成角就是，连接，
由正方体性质可知，即为等边三角形，
故，即与所成的角为，故C错误；
对D：由，平面，平面，
故平面，故D正确．
故选：ABD．
10．AC
【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，
即，对；
B：若截距不为0时，令直线为，则，
此时直线方程为，错；
C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对；
D：由过定点，是圆上半部分，如下图，
当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，
当动直线过半圆左侧端点时，即，
结合图知，，D错.
故选：AC
11．BC
【详解】对A，因为是“平方递推数列”，所以.又，
所以，则，所以不是等差数列，A不正确.
对B，因为，所以是等比数列，B正确.
对C，因为，所以以是“平方递推数列”，C正确.
对D，因为，所以不是“平方递推数列”，D不正确.
故选：BC.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．8
13．
【详解】因为且，可设，则，
由双曲线的定义，可得，所以，所以，，，
分别在和中，可得，整理得：，
所以双曲线的离心率为.
故答案为.

14．
【详解】解：如图，在正方体中，为棱的中点，为的中点，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为2，
则所以
设异面直线与所成角为，
则，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故
四、解答题
15． 本小题13分
【详解】（1）设公差为，，则，. -----------2分
由题意得，解得或(舍去)． -----------6分
所以，，． -------------7分
（2）正方形的边长组成首项是，公差是的等差数列， -----------9分
所以， -----------12分
所求正方形的面积为. -----------13分
16.本小题15分
【详解】（1）由题意得，解得 ------------------------3分
故， ------------------------5分
故椭圆方程为； ------------------------7分
（2）由题意得F1−1,0， ----------------------9分
椭圆的长轴长为，短轴长为， --------------------11分
将代入中得，，---------------13分
不妨设，
显然⊥轴，故. --------------15分
17．本小题15分
【详解】（1）如图，取CD的中点，连接OP，，
因为是边长为2的正三角形，所以，
在菱形ABCD中，，
则为等边三角形，所以， -----------------------2分
又，，平面OPB，所以平面OPB，
又平面OPB，所以； ----------5分
（2）由（1）得，，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD， -------------6分
如图，以点为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则，，，------8分
设平面PAD的法向量为，则有，
令，则，，所以，---------10分
所以PB与平面APD所成角的正弦值为
；---------12分
（3）因为轴平面PCD，所以可取平面PCD的法向量为， ---------13分
由（2）得平面PAD的法向量为，
则，
所以平面APD与平面PCD夹角的余弦值为. -----------------15分
本小题17分
【详解】解：（1）因为成等比数列，所以，-----------------2分
即，
解得或（舍去），所以. -----------------6分
由（1）知. ---------------8分
则 --------------11分
------------------------14分
. -----------------17分
本小题17分
详解：（Ⅰ）由题意有 --------------------------3分
解得, ------------------5分
所以椭圆C的方程为. -----------------6分
（Ⅱ）设直线,,
把代入得 ------------------------9分
故 ------------------------------11分
于是直线OM的斜率 即, ---------------------------15分
所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.--------------------------17分