2024-2025学年甘肃省白银市高三上册11月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省白银市高三上册11月联考数学检测试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，且，则的最小值为（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
3. 如图，平行四边形中，，，若，，则（）
A. B. C. D.
4. 已知函数，在上单调递增，则取值范围是（）
A. B. C. D.
5. 在中，角所对的边分别是，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是（）
A. B. C. D.
6. 第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（）种
A. 108B. 114C. 150D. 240
7. 已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）
A. B. C. D.
8. 已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、多选题（共3题，每题6分，共18分.全部选对的6分，部分选对得部分分，选错不得分.）
9. 下列说法中正确的是（）
A. 若随机变量，且，则
B. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，这组数据的百分位数为
C. 若随机变量，且，则
D. 若变量y关于变量x线性回归方程为，且，，则
10. 已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减
D. 若将图象每个点的横坐标变为原来的倍后在上有且仅有2个极值点，则
11. 对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现．关于，下列说法正确的是（）
AB.
C. D.
三、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12. 已知x，y为正实数，则的最小值为__________．
13. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是______．
14. 已知函数，给出下列四个结论：
①任意，函数最大值与最小值的差为2；
②存在，使得对任意，；
③当时，存在，，使得对任意，都有；
④当时，对任意非零实数，.
其中所有正确结论的序号是______.
四、解答题（共5题，共77分）
15. 函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的单调递增区间．
16. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
17. 如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
18. 某企业引进一条先进的生产线，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，求“抽出的产品中恰有1件一等品”的概率；
（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取14件产品，再从这14件产品中任取3件产品，求一等品的件数的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表（）：
试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大．
19. 已知函数.
（1）证明：当时，只有1个零点；
（2）当时，讨论单调性；
（3）若，设，证明.
答案：
一、单选题（共8题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据指数函数性质求出，再根据交集的含义即可得到答案.
，
所以，所以，
故选：C.
2. 已知，且，则的最小值为（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【正确答案】B
【分析】由，把代入，最后利用基本不等式即可求解.
，
当且仅当时，取“”成立，
故选：B.
3. 如图，平行四边形中，，，若，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故选：D.
4. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】当时，根据一元二次函数的单调性求参数范围；当时，根据导数与单调性的关系求参数范围，再根据函数在上单调递增，列不等式求解即可.
由题知当时，单调递增，所以，解得；
当时，单调递增，所以恒成立，
即恒成立，所以；
因为在上单调递增，所以当时，，
所以的取值范围是.
故选.
5. 在中，角所对的边分别是，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的条件，再根据余弦定理即可得结果.
因为，即，
可得，即，
由正弦定理可得，
又因为，当且仅当时，等号成立，
若取得最小值，则，
此时最大角为角A，，
所以的最大内角的余弦值是.
故选：C.
6. 第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（）种
A. 108B. 114C. 150D. 240
【正确答案】B
【分析】把5名新教师分成3组，利用分组分配及排除法列式计算即得.
5名新教师按分组有种方法，按分组有种分法，
因此5名新教师安排方案有种，
当甲乙在同一组时，甲乙可视为1个人，即相当于4名教师的安排方案，有种，
所以所求不同的安排方案有（种）.
故选：B
7. 已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数y=fx和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.
因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，
又方程可化为，
所以函数，的零点的集合与函数y=fx和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，
因为函数为定义域为R的偶函数，
所以f−x=fx，函数的图象关于轴对称，
因为，
取可得，，
所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
又当时，，
作出函数y=fx，的区间上的图象如下：
观察图象可得函数y=fx，的图象在区间上有个交点，
将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，
则，，，，
所以函数在区间上所有零点的和为.
故选：A.
8. 已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可
解：由题意可知，若有两个零点，则有两个解，
等价于有两个解，因为，x>0，所以，
令，原式等价于有两个解，又在上单调递增，
所以有两个大于零的解.
解，可得，令，
则，当时，，当时，，
所以ℎx在上单调递增，在上单调递减，且，ℎx的图象如图：
所以当时，有两个交点，即有两个零点.
故选：A
方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解.
二、多选题（共3题，每题6分，共18分.全部选对的6分，部分选对得部分分，选错不得分.）
9. 下列说法中正确的是（）
A. 若随机变量，且，则
B. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，这组数据的百分位数为
C. 若随机变量，且，则
D. 若变量y关于变量x的线性回归方程为，且，，则
【正确答案】AC
【分析】A选项利用二项分布求期望与方差的公式代入即可求解；B选项，先将数据排序，再利用求百分位数的方法求解即可；C选项，先根据题意确定，再利用正态分布曲线的对称性即可求概率；D选项，利用回归直线过样本中心即可求解.
对于A，因为，所以，所以，
所以，A正确；
对于B，这组数从小到大排列为：，，，，，，，，，，
因为，所以这组数的百分位数为第八个数，即为，B错误；
对于C，因为随机变量，所以正态曲线关于对称，
由，得出，
所以，C正确；
对于D，因为，，，根据回归直线过样本中心，
有点在直线上，即，解得，D错误.
故选：AC
10. 已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减
D. 若将图象每个点的横坐标变为原来的倍后在上有且仅有2个极值点，则
【正确答案】ABD
【分析】根据给定条件，结合图象求出的解析式，再利用正弦型函数的逐一判断即可.
对于A，由，得，而，在的递增区间上，则，A正确；
依题意，，，解得，
函数的周期，解得，，
对于B，，的图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，
因此在上不单调，C错误；
对于D，将图象每个点的横坐标变为原来的倍后，得的图象，
当时，，依题意，，解得，D正确.
故选：ABD
11. 对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现．关于，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，取特殊值判断C，根据曲边梯形与梯形面积大小判断D.
由题意，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当或时，也成立，
综上，，
对A，，，即，故A正确；
对B，，而，所以，故B正确；
对C，取，则，故C错误；
对D，如图，
因为，所以，
即，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12. 已知x，y为正实数，则的最小值为__________．
【正确答案】
【分析】将原式变形为，再结合基本不等式即可求解.
，
令，
所以
，当且仅当取等号.
所以的最小值为.
故
13. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可.
由题意知，
因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，，
所以在区间内，
所以，解得，即m的取值范围是.
故答案为.
14. 已知函数，给出下列四个结论：
①任意，函数的最大值与最小值的差为2；
②存，使得对任意，；
③当时，存在，，使得对任意，都有；
④当时，对任意非零实数，.
其中所有正确结论的序号是______.
【正确答案】②③
【分析】①举一例说明最大值与最小值的差不为2，②令，可证明，③取特值判断，④例如时，举一例说明，从而判断各命题的真假．
，
①当时，，最大值是1，最小值是0，差为1，①错；
②当时，，
，②正确；
③，，它的最小值正周期是，
存在，使得对任意，，③正确；
④当时，时，，
，
即，④错，
所以正确的只有②③，
故②③．
四、解答题（共5题，共77分）
15. 函数的图象上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的单调递增区间．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意，利用三角函数的性质，列方程组，求解即可；
（2）首先得，根据复合函数单调性列不等式，求解即可.
【小问1】
由题意得，，，
解得，注意到，所以只能，，
所以函数的解析式为.
【小问2】
当时，，
令或，解得或，
所以由复合函数单调性可知，函数在区间上的单调递增区间为.
16. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【正确答案】（1）
（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【小问1】
当时，，
当时,，
所以.
【小问2】
当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
17. 如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）取中点，推导出平面，可知是直线与平面所成的角，求出的正弦值，可求出的大小，由此可得出结果.
【小问1】
证明：连接，
因为且，故四边形为平行四边形，
因为为的中点，则为的中点，
又因为为的中点，所以，，
因为平面，平面，所以平面.
【小问2】
解：取中点，由题意可知，所以，且，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
因为，、平面，所以平面．
连接，则是直线与平面所成的角．
由题意，同理可得，
则，
因为平面，平面，则，则，
因为，，即直线与平面所成角的余弦值为.
18. 某企业引进一条先进的生产线，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，求“抽出的产品中恰有1件一等品”的概率；
（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取14件产品，再从这14件产品中任取3件产品，求一等品的件数的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表（）：
试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大．
【正确答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【分析】（1）根据频率分布直方图，求得1件产品为一等品的概率为，进而求得其概率；
（2）由频率分布直方图，结合分层抽样抽取的件产品中，二等品有件，一等品有件，得到随机变量的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3）由频率分布直方图，得到该产品的质量指标值与利润（元）的关系，求得每件产品的平均利润，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1】
解：记“抽出的产品中恰有1件一等品”为事件，
由频率分布直方图可得，1件产品为一等品的概率为，
则抽出的产品中恰有1件一等品的概率为.
【小问2】
解：由频率分布直方图可知，质量指标值的产品中，
可得的频率为，的频率为，
利用分层抽样抽取的件产品中，二等品有件，一等品有件，
所以随机变量的所有可能取值为，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以.
【小问3】
解：由频率分布直方图可得，该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）
故每件产品的平均利润：
，
所以当时，，
即当时，每件产品的平均利润达到最大．
19. 已知函数.
（1）证明：当时，只有1个零点；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若，设，证明.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）答案见（3）证明见解析
【分析】（1）利用导函数与单调性关系，确定的单调性，即可证明；
（2）利用导函数与单调性的关系，结合的不同取值讨论求解；
（3）将所需证明不等式等价转化为，设，则只需证明，即，构造函数利用导函数与最值的关系证明.
【小问1】
当时，，则函数的定义域为，
恒成立，
所以在单调递减，
且，
根据零点唯一性定理可知，只有1个零点为0.
【小问2】
，因为，所以定义域为，
，
因为，
当，即时，
恒成立，即，
则函数在单调递减；
当，即时，
方程的两个根为
因为，且，
所以均在内，
当时，f'x