2024-2025学年河北省石家庄市高一上册期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市高一上册期末数学检测试题（附解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】
先化简集合元素再求.
【详解】由，所以
故选：C
易错点点晴：要注意集合中的条件.
2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
由原命题为假命题可知其否定，使得成立是真命题，转化为对于有解，分离可得，即可求解.
【详解】若命题“，”是假命题，
所以，使得成立是真命题，
即对于有解，
所以，所以，
因为，所以，，
所以，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：D
方法点睛：若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可.
3. 已知，且，则的值是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出，再利用变角求出的值.
【详解】由，得，
由，得，
所以
故选：D
4. 已知，则 “” 是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出，充分性成立，举出反例，得到必要性不成立，选出正确答案.
【详解】当时，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故充分性成立，
当时，满足，但不满足，故必要性不成立，
故“” 是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得.
【详解】易知是奇函数且单调递增，
故原不等式等价于
即
所以，
所以在任意的上恒成立，故.
故选：D
6. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由诱导公式化简，结合，判断，结合指数函数以及对数函数的单调性，即可判断的范围，即可得答案.
【详解】由题意得，而，
由于在上单调递增，
故，即，
由在R上单调递增，则，即有；
由在上单调递增，且，
故，即，
故，
故选：D
7. 定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有在（﹣1，1）内有实数根，进而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范围．
【详解】∵函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，
故有即在（﹣1，1）内有实数根，则有根，
所以x＝1或.
又1∉（﹣1，1）
∴方程在（﹣1，1）上有根，
因为，而当时，，
于.
故选：A．
8. 已知函数，若的最小值为0，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】首先变形不等式，整理为，且存在，使得，换元后讨论对称轴和定义域的关系，列式求解.
【详解】由题意可知，当时，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
当，即时，，不符题意；
当，即时，由，解得.
综上，.
故选：D
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 的最小值是2D.
【正确答案】ABD
【分析】对于A，利用不等式性质即得；对于B，利用平方差公式分解因式，再逆用二倍角的余弦公式计算即得；对于C，利用基本不等式时，因等号取不到，故函数取不到最小值2；对于D，依次运用切化弦通分，辅助角公式化简分子，再运用诱导公式和二倍角公式即可求得.
【详解】对于A项，因，利用不等式的性质可得.故A项正确；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，因，由，当且仅当时等号成立，
但由可得：，显然此方程无实数解，即取不到最小值2，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：ABD.
10. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点是函数一个对称中心
C. 在上为增函数D. 方程仅有6个实数根
【正确答案】BCD
【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可判断A；推导可得，即可判断B；作出图象，结合图象即可判断C；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象即可判断D.
【详解】为奇函数，，即，
关于点对称，
为偶函数，，即，
关于对称，
由，得：，
，即是周期为的周期函数，
对于A，，A错误；
对于B，，即，
关于点成中心对称，B正确；
对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，C错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，
即有个实数解，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，下列四个命题正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间是
B. 若，其中，则
C. 若的值域为R，则
D. 若，则
【正确答案】ABD
【分析】对于A，利用复合函数的“同增异减原则”即可求得；对于B，判断的符号，去掉绝对值，代入化简即得；对于C，要结合对数函数的图象理解，要使对数型函数的值域为R，须使真数能取遍一切正数，列出不等式组求解即得；对于D，分别判断绝对值内的对数式的符号，去绝对值，再结合的范围，利用对数函数单调性即可比较大小.
【详解】对于A项，由可得，取，因在定义域内为减函数，
而在区间上递增，在区间上递减，
根据同增异减原则可知：函数的单调递增区间是，故A项正确；
对于B项，因，，故由可得：，即得，则，故B项正确；
对于C项，要使的值域为R，须使能取遍一切正数.
① 当时，可以取遍一切正数，符合题意；
②当时，依题意，须使，解得.
综上可知，故C项正确；
对于D项，当时，，，则，，
故，，
由可得：，则，即得：，故D项正确.
故选：ABD.
12. 已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于对称
B. 在上单调递减
C. 的解集为
D. 方程在上有且只有两个相异实根
【正确答案】AC
【分析】根据三角函数的图象变换及三角函数的性质，求出函数的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得，
因为的最小正周期为，
所以，解得，即，
因为为偶函数，
所以，解得，
又因为，
当时，可得，
所以，
.
对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确；
对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误；
对于C，由，得，即，解得，
所以的解集为，故C正确；
对于D，由，得，即，
所以即
所以，解得，
又因为，
所以，
所以方程在上有3个相异实根，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题4个小题，每小题5分（16第一空2分，第二空3分），共20分．
13. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________．
【正确答案】
【分析】利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为（，且）的图象过定点A，
令，则，，
所以点A的坐标为.
故答案为.
14. 函数的最小正周期是______．
【正确答案】6
【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可.
【详解】函数的最小正周期为，
显然，即是函数的周期，
在同一坐标系内作出函数的图象，如图，
观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6.
故6
15. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
【正确答案】
【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围
【详解】有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意
②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意
④时，单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点
综上可得，或
故
本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
16. 已知函数在区间上单调，且满足______；函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______．
【正确答案】 ①. 0 ②.
【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调，
且满足，而，,
即的一个对称中心为，故；
而，故在区间上单调，
设函数的最小正周期为T，则；
函数在区间上恰有5个零点，则恰好为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期，
故，即，
解得，结合，
可得的取值范围为，
故
关键点睛：本题综合考查了三角函数单调性、周期以及对称性的应用，解答的关键在于第二空的求解时，要根据零点的个数，结合正弦函数的性质，列出关于参数的不等式，从而求解答案.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知关于的不等式.
（1）该不等式的解集为，求；
（2）若，求此不等式解集.
【正确答案】（1）；（2）见解析.
【详解】分析：⑴根据不等式解集，则方程有两根，故计算出的值⑵分类讨论无解和有解时根的大小
详解：（1）由韦达定理有：；
（2） .
①，即时：解集为；
②，即时：解集为；
③，即时：解集为.
点睛：本题主要考查了一元二次不等式，在含有参量的不等式中注意分类讨论，得出不同情况的结果．本题较为基础．
18. （1）计算：：
（2）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（3）化简：．
【正确答案】（1） ；（2）① ；②；（3） ．
【分析】（1）运用对数换底公式、对数的运算性质、指数幂的运算性质化简计算即得；
（2）①利用三角诱导公式和同角的基本关系式化简已知式求得，再根据角的象限确定值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即得；
（3）利用二倍角公式化单角为半角，再逆用二倍角公式，最后根据角的范围去掉根号，化简即得.
【详解】（1）
．
（2）由题意可得：①
，
即是第三象限角，．
②是第三象限角，，
（3）由
，
原式．
19 已知函数．
（1）求的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间；
（2）当时，求的最值．
（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）对称中心为，对称轴方程为，单调递增区间为
（2）最小值为；最大值为2
（3）
【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
（3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意，得函数，
令，解得，
所以函数的对称中心为；
令，解得，
所以函数的对称轴方程为；
由，得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
当时，，所以，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为2；
【小问3详解】
由题意得时，有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，，
令，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以.
方法点睛：（1）本题第三问考查恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；（2）参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题.
20. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）
（1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；
（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
【正确答案】（1），
（2）6.25万元，4.0625万元
【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式；
（2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出，换元后，配方得到时，y取得最大值4.0625.
【小问1详解】
因为A产品的利润与投资额成正比，故设，
将代入，解得：，
故，
因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设，
将代入，解得：，解得：，
故；
【小问2详解】
设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y万元，
则.
令，可得，
即.
当，即时，y取得最大值4.0625.
答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.
21. 已知定义域为的函数满足对任意，都有.
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且时，，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集.
【正确答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②.
【分析】（1）采用赋值法，利用奇偶性的定义求解.
（2）①根据及，得是偶函数且，再利用单调性的定义证明.②由是偶函数且在上是减函数，将不等式，转化为求解.
【详解】（1）取，得，
取，得，
取，，得，
所以是奇函数.
（2）①由及，
可得是偶函数且，
设，则，
由时，得，
所以，
所以在上是减函数.
②由是偶函数且在上是减函数，
可得
或或，
所以不等式的解集为.
本题主要考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，还考查了转化论证运算求解的能力，属于中档题.
22. 已知函数（k为常数，），且是偶函数.
（1）求k的值；
（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由偶函数的性质即可求出；
（2）令，题目等价于只有一解，讨论，两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为，是偶函数，
因为，
即，
∴；
（2）若方程只有一个解，
即只有一个解，
整理得：，
令得，
令，
因为，所以与同号，
①当时，，则，
方程在区间上只有一个解，
因为图像是开口向上的，
且，，，
所以当时方程在区间上只有一个解；
②当时，，则，
方程在区间上只有一个解，
因为方程对应的二次函数图像是开口向下的，
且，，
则解得，
所以当时，方程在区间上只有一个解；
综上：当或时，方程只有一个实根.