2024-2025学年湖南省长沙市长沙县高二上册期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市长沙县高二上册期末数学检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了 经过、两点的直线的倾斜角为， 抛物线的焦点坐标为， 关于函数说法正确的是， 若，则， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共4页，分第I卷与第Ⅱ卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过、两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，且，故.
故选：B.
2. 在数列中，为前项和，若，，，则其公差（ ）
A. 3B. 4C. D.
【正确答案】A
【分析】先根据题意得到为等差数列，再求出，进而结合即可求得其公差．
【详解】由数列满足，
则，所以为等差数列，
又，则，即，
又，则其公差为．
故选：A．
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程形式进行求解即可.
【详解】由，
因此该抛物线的焦点在横轴的正半轴上，且，
所以该抛物线的焦点坐标为
故选：C
4. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案.
【详解】是的中点，
.
故选：B.
5. 若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据椭圆方程标准形式可得，从而得解.
【详解】若曲线表示椭圆，
则，解得且，
所以实数的取值范围是．
故选： B．
6. 关于函数说法正确的是（ ）
A. 没有最小值，有最大值B. 有最小值，没有最大值
C. 有最小值，有最大值D. 没有最小值，也没有最大值
【正确答案】A
【分析】对函数求导，利用导数求解函数的最值即可
【详解】解：函数的定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，没有最小值，
故选：A
7. 是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【正确答案】A
【分析】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解.
【详解】若，则圆心到直线的距离，
则圆上恰有两个点到直线的距离等于，
反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于，
则，即或，不一定，
所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件.
故选：A
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断.
【详解】因为，
构造函数，则，
令，解得；当时，令，解得；
可得在上单调递减，在上单调递增；
且，所以，即.
故选：C.
关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若空间向量，，满足，则
B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C. 若空间向量，，则
D. 对于任意空间向量，，必有
【正确答案】BD
【分析】令为零向量即可判断A、C；由基底的概念判断B；应用向量数量积的运算律、定义判断D.
【详解】若为零向量，有，但不一定成立，A错：
三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对；
若为零向量，，，但不一定成立，C错：
由，，
而，所以，D对.
故选：BD
10. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度平均变化率相同
【正确答案】AC
【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.
【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. 数列的最小项为和D. 满足的最大正整数
【正确答案】ABD
【分析】先根据求出，即可判断选项A、B；再利用二次函数性质可判断选项C；最后根据解不等式即可判断选项D.
【详解】
当时，；
当时，；
.
数列是递增数列，故选项A、B正确；
，
当或时最小，即数列的最小项为和，故选项C错误，
令，得，，即满足的最大正整数，故选项D正确.
故选：ABD
12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为B. 若，则点到轴的距离为6
C. 的最小值为5D. 若，则的面积为
【正确答案】ACD
【分析】对于A：直接根据焦点到准线的距离可得；对于B：利用抛物线的定义以及梯形中位线的长度公式来求解；对于C：直接利用两点之间线段最短来解答；对于D：利用焦半径公式求出点坐标，进而可用面积公式求解.
【详解】由焦点到准线的距离为4可得，
即抛物线的方程为，A正确；
过点作准线的垂线，垂足分别为，
由抛物线的定义得，
所以点到轴的距离为，B错误；
根据图像点的位置可得，C正确；
设，不妨取，则，
得，
所以，D正确
故选：ACD.
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线在两坐标轴上的截距相等，则__________.
【正确答案】-2或-1
【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.
【详解】若该直线过原点，显然符合题意，易得；
若该直线不过原点，显然时，直线不符合题意，
当时，令时，令时，
依题意有：，解得：或（舍），
综上：或，
故-2或-1.
14. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______．
【正确答案】
【分析】根据函数单调性得到在区间上恒成立，求出，从而得到.
【详解】函数在区间上单调递减，
在区间上恒成立，
即，又，
故，即实数的取值范围为.
故
15. 已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为____________．
【正确答案】29
【分析】根据双曲线方程及已知有在双曲线的下支上，应用双曲线定义及，即可求目标式的值.
【详解】由题设，故在双曲线的下支上，如下图示，
根据双曲线定义：，
所以.
故
16. 如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.

【正确答案】##
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故平面的法向量为，
又，则点到平面的距离为.
故
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在递增的等比数列中，，，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【正确答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）由及得，，进而的，可得通项公式；
（2）利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.
试题解析：
（1）设数列的公比为，
则，
又，
∴，或，（舍）.
∴，即.
故（）.
（2）由（1）得，.
∴
.
18. 已知圆经过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）借助待定系数法设出方程，代入计算即可得；
（2）借助圆的弦长公式，设出直线方程计算即可得.
【小问1详解】
设圆M的方程为，
因为圆M经过点，，且圆心在直线上，
依题意有
解得，，，
所以圆M的方程为．
【小问2详解】
设圆心到直线l的距离为d，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线l的方程为或．
19. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，点M在棱上且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）先证明M是的中点，连接，与交于点O，连接，从而证明，从而可证明.
（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为平面平面，且平面平面，
根据条件可知，所以平面，
所以．
所以，同理可得，
又，所以是等边三角形，
因为，所以M是的中点．
如图，连接，与交于点O，连接，则O是的中点，所以，
因为平面平面，所以平面．
【小问2详解】
以D为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
由（1）知是平面的一个法向量．
设为平面的法向量．因为，
所
令，可得．
设平面与平面的夹角为，
则
．
20. 在数列中，.
（1）证明：数列为常数列.
（2）若，求数列的前项和，并证.
【正确答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【分析】（1）根据条件得到，又，即可证明结果；
（2）根据（1）得到，从而有，利用错位相减法，即可得到，再利用，即可证明结果.
【小问1详解】
令，得，则，
因为①，所以②.
①②得，即.
又，得到，所以数列为常数列.
【小问2详解】
由（1）可得，所以是公差为1等差数列，
所以.
因为，所以③，
④，
③④得，
所以，
又因为，所以，得证.
21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C： ()的左、右焦点分别为，且焦距为，椭圆C的上顶点为B，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过点，且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN分别交直线于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）存在，理由见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的坐标表示求出，即可求解得结果.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，设出点的坐标，求出点纵坐标，结合韦达定理计算即可得解.
【小问1详解】
依题意，，，
则，解得，而半焦距，于是，
所以椭圆C的方程为．
小问2详解】
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，
由消去y得，
，即，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
设两点的纵坐标分别为，于是，，
显然
，因此
所以存在，使得点P，Q关于点G对称．
思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系求解．
22. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）存在且，使成立，求的取值范围．
【正确答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）．
【分析】（1）先求，再由得增区间，由得减区间；
（2）先转化为在上存在减区间，即有解，分离参数得有解，只需即可．
【小问1详解】
由题意得，令得，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减；
综上，单调递增区间为，单调递减区间为．
【小问2详解】
由题意存在且，不妨设，
由（1）知时，单调递减．
等价于，
即，
即存在且，使成立．
令，则在上存在减区间．
即上有解集，即在上有解，
即，；
令，，，
时，，在上单调递增，
时，，在单调递减，
∴，∴．
难点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值及不等式有解问题，属于难题．不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布列不等式组解答，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可），本题（2）就是用这种方法求得k的取值范围的．