2024-2025学年四川省成都市高三上册11月诊断性评价数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册11月诊断性评价数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A．B．C．D．
3．已知，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．将函数）的图像向右平移（0＜＜）个单位后的图像关于y轴对称，则 ＝（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．f(x)=xsin2xB．
C．D．
6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．[2,+∞)
二、多选题（本大题共3小题）
9．设向量，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．与共线D．
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得的图象
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点
B．函数的图像与函数的图像没有公切线
C．函数，则有极大值，且极大值点
D．当时，恒成立
三、填空题（本大题共3小题）
12．的值是 .
13．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.在点测得塔顶的仰角，且，则塔高为

14．已知函数有两个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)在中，若，，求的外接圆的面积．
16．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.
(1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附表：
附：，其中.
17．如图的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
18．已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（−3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求证：直线BC过定点；
(3)若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求的取值范围
19．若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，，
则.
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】连结，则为的中位线，
，

故选：A
3．【正确答案】A
【详解】不等式，解得
记，
因为，所以“”是“”成立充分不必要条件.
故选：A
4．【正确答案】D
【详解】因为函数的图象向右平移（0＜＜）个单位，
所以.
又因为平移后图像关于y轴对称，
所以，
又0＜＜，所以当时．
故选：D
5．【正确答案】D
【详解】由图可知，函数为奇函数，且，.
对于A，，则该函数为偶函数，故A错误；
对于B，，则该函数为奇函数，
，，故B错误；
对于C，，则该函数为偶函数，故C错误；
对于D，，则该函数为奇函数，
且，，故D正确.
故选：D.
6．【正确答案】C
【详解】解：因为函数，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，不恒为零，
所以实数的取值范围是，
故选：C
7．【正确答案】B
【详解】，
即，又，
解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即
当且仅当时取等号，
则周长的最大值是，
故选：B
8．【正确答案】C
根据题意得到，，再对所求目标式子进行化简，利用对勾函数的单调性，得到所求范围.
【详解】有四个不同的零点，
即和有四个交点，它们的横坐标分别为，
画出函数和的图像，
根据图像可知，
和是和的交点横坐标，
即方程的两根，
所以，
是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，
故有，得到，
由，可得
，
令，
令，
则在上单调递减，
所以，，
故，
即所求式子的取值范围是.
故选：C.
9．【正确答案】AD
【详解】因为，，所以，，故A正确；
因为，，所以，
因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故B错误；
因为，，所以，
又，所以，所以，所以与不共线，故C错误，D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】BCD
【详解】由图象可知：，周期，∴；
由，所以，解得，
由可得，故函数．
对于A：，故A错误；
对于B：当时，，因为在上，正弦函数单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，
即直线是的一条对称轴，故C正确；
对于D：向右平移个单位得，故D正确，
故选：BCD．
11．【正确答案】ACD
【详解】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，
当时，令，则，
由，得到，由，得到，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在时取最小值，即，
所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确；
对于选项B，设与切于点，与切于点
则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数，
令，则，易知在上恒小于0，
当时，令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，又，，
所以在上有使得，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，且
当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误，
对于选项C，令，所以，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以存在，使得，即，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值，且极大值点，故选项C正确，
对于选项D，，则，
当时，时，，
所以，即，当且仅当时取等号，
令，则在区间上恒成立，
又，所以，当且仅当时取等号，
又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方，
所以，且等号不能同时取到，故选项D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】/
【详解】解：
故
13．【正确答案】
【详解】在中，，
由正弦定理得，，
解得，
在中，，所以，所以塔高为．
故．
14．【正确答案】
【分析】利用同构思想，设，将有两个零点转化成有两个根，继而又转化为与有两个交点，研究函数的图象，即可求得参数的范围.
【详解】由，设，显然该函数在上单调递增，则，
于是由题意知，有两个根，因为,则故与有两个交点.
由，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即时，取得极大值为，
且当时，，当时，，作出函数的简图.
由图可得，要使有两个根，需使，解得.
故答案为.
15．【正确答案】(1)单调递减区间为，；
(2).
【详解】（1）由题可知 ，
令，解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
（2）由题可得，又，
∴，即，又，
所以的外接圆直径，
所以，的外接圆面积．
16．【正确答案】(1)表格见解析，有关联
(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为
【详解】（1）零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05
（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，
所以，
，
，
，
，
，
的分布列为：
的数学期望为，的方差为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在中，因为，，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，即，
在直四棱柱中，平面，平面，
所以，因为平面，平面，，
所以平面.
（2）因为，，两两相互垂直，
所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，得，，
所以A1,0,0，，，，
，，，
设m=x,y,z为平面的一个法向量，
则，即，
令，解得，
因为，，
设直线与平面所成角为，且，
所以，
从而，所以．
所以直线与平面所成角的正切值为．
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）焦点，∵，∴
抛物线E的标准方程为
（2）显然．直线斜率存在，设的方程为
由，化简得：，
设，则，
∴ ①
直线的方程为，
由化简得：，
设则 ②
由①②得，∴ ③
（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴，
∴的方程为．
（ⅱ）若直线有斜率，为，
直线的方程为，即，
将③代入得，∴，
故直线有斜率时过点．
由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点．
（3）
由（2）得，
，∴，且，
设，
∵，且，∴∴，
故的取值范围是．
19．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）假设存在两个不同的数，满足题意，
易知，由题意可得
，
即，
，，，
，
又，
所以.
因为，即，
化简可得，又，
所以，
代入，
可得或，
所以为“切合函数”.
（2）由题意知，
因为为“切合函数”，
故存在不同的数(不妨设)使得
，
即，
整理得，
（ⅰ）先证，
即，
，
令，则由，知，
要证，只需证，
即，
设，
易知，
故在单调递减，所以，
故有，
由上面的式知,
所以.
（ⅱ）由上面的得，
，
又，
所以且，
故要证，
只需证，
即，
设，
则即证
，
设，
则，
即也就是在单调递增，
，
所以在单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以原不等式成立.课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
合计
男
女
合计
0. 1
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001
2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
合计
男
40
20
60
女
50
10
60
合计
90
30
120
0
1
2
3
4