2024-2025学年四川省绵阳市高三上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市高三上册12月月考数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的值域可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．若“”是“”的充分条件，则是（ ）
A．第四象限角B．第三象限角C．第二象限角D．第一象限角
3．下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．12D．16
8．在中，内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．4049B．4048C．4047D．4046
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．的值域为B．为奇函数
C．在上单调递增D．的最小正周期为
10．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ）
A．当时，应进甲商场购物B．当时，应进乙商场购物
C．当时，应进乙商场购物D．当时，应进甲商场购物
11．设，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线
C．函数图象上的点与原点距离的最小值为
D．函数的极小值点为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
13．已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ．
14．若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
附：，，（其中）
(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
(2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关?
16．记为数列的前项和，
(1)求，并证明
(2)若，求数列的前项和
17．已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上．
(1)求a，b，的值；
(2)若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间．
18．已知函数，m，．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，证明：，．
19．已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：．
(1)证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之；
(2)如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：；
(3)如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，
故对于函数，其值域可表示为.
故选：B.
2．【正确答案】B
【详解】由题可知，，则是第三象限角或第四象限角；又要得到，故是第三象限角.
故选：B
3．【正确答案】C
【详解】对于选项A:因为指数函数的值域为0,+∞，故，，故选项A错误；
对于选项B: 因为对数函数在上单调递增，所以当时，，故选项B错误；
对于选项C:令,则，，显然，故，使得成立，故选项C正确;
对于选项D:结合题意可得：令，因为，所以，所以，
因为，故不存在，使得,故选项D错误.
故选：C.
4．【正确答案】C
【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、B；再取特殊值和，可得函数的大致图象为C，
故选：C.
5．【正确答案】A
【详解】由题可知，
，
所以
故向量与的夹角为
故选:A
6．【正确答案】C
【详解】由题可知，
所以有
故选：C
7．【正确答案】A
【详解】
当且仅当，，即时等号成立；
故选：A
8．【正确答案】A
【详解】在中，，可得，
即，故，
即，所以，
所以，即，所以
故.
故选：A.
9．【正确答案】AD
【详解】对于选项A:由，令，则，，
因为在上单调递增，所以，故选项A正确；
对于选项B: 由可知，对任意的，
因为，而，易验证故不是奇函数，
故选项B错误；
对于选项C:结合选项A可知在单调递减，而在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可得在单调递减，故选项C错误；
对于选项D:因为的最小正周期为，
所以，所以的最小正周期为，故选项D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】AC
【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场，
所以选项A正确；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，
，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为
，因为，所以
故，所以应进乙商场，所以选项C正确；
假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为，
所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误.
故选：AC
11．【正确答案】BD
【详解】对于A：设，则，
由得，由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即恒成立，选项A错误.
对于B：由得，即，
所以函数与函数互为反函数，图象关于直线对称，
结合图象可得函数与的图象都过原点，直线为函数与唯一的公切线，选项B正确.
对于C：设点为函数图象上任意一点，则，当且仅当时等号成立，选项C错误.
对于D：令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，选项D正确.
故选：BD.
12．【正确答案】
【详解】由题可知，，，
所以切线斜率，
故切线方程为.
故
13．【正确答案】2
【详解】为偶函数，
所以，，得，，
当x∈0,π时，，在区间内仅有两个零点，
所以，解得：，所以.
故2
14．【正确答案】
【详解】，所以为锐角，为锐角，
所以.
由于，所以，设，则，
，
为锐角，则.
由于，
所以，所以①，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
即，由正弦定理得，
即，解得，则为锐角，
由,解得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，
在三角形中，由正弦定理得，
所以，解得.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2)没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关
【详解】（1）由表中数据可得，，
所以，，
所以所求的回归直线方程为；
令，则，
即该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次预测为人次.
（2）零假设：礼让行人行为与驾龄无关，
由表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分理由认为零假设不成立，即没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关.
16．【正确答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1），代入即可求得依题意得，，，两式作差即得答案；
（2）对化简，利用裂项相消法求和即可求得结果.
【详解】（1）令，，
∴，
因为，
所以，①
所以，②
②－①得，③
所以，④
③－④得，
所以．
（2）由（1）知，则，
所以数列是等差数列，
又，所以的公差，
所以，
所以，
所以.
17．【正确答案】(1)，，；
(2)
【详解】（1）因，，由，可得，
由
，其中，
因点和在函数的图象上，则有，，
结合图象，由① 可得，
将其代入② 式，可得，即，（*）
由图知，该函数的周期满足，即又，则有，
由（*）可得，故.
由解得，，
故，，；
（2）不妨记，则，
因是图象上的一点，即得，即，
又因是函数图象上的相应的点，故有.
由，可得，
因，故得.
在上的单调递减区间为.
18．【正确答案】(1)0
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
由，可得或，由，可得，
即在和上单调递增；在上单调递减，
时，，时，，
故时，取得极小值也即最小值，为.
（2）当时，，函数的定义域为，，
当时，恒成立，故在上为增函数；
当时，由，可得，
故当或时，；
即在和上单调递增；
当时，，
即在上单调递减.
综上，当时，在上为增函数；
当时，在和上单调递增,
在上单调递减.
（3）当时，,
要证，，只需证，
即证在上恒成立.
设，依题意，只需证在时，.
因，，由，可得，由，可得，
故在上单调递减，在上单调递增,
则在时取得极小值也是最小值，为；
因，，由，可得，
由，可得，由，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则在时取得极大值也是最大值，为.
因，即在上成立，故得证.
即，．
19．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)5.
【详解】（1）证明：设（分别为轴正方向逆时针到所成的角，且），
则，
，
于是，
即，轴正方向逆时针到所成的角为.
故是这样一个向量：把的模变为原来的倍，并按逆时针方向旋转角（为轴正方向逆时针到所成的角，且）.
例如，，则，，与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为，将的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转，即可得.
（2）证明：记，
根据新定义，可得，
同理，
所以，
，
所以，
故.
（3）解：设，则，
，
所以，
所以
.
设，则，
当，即时，.月份
1
2
3
4
5
违章驾驶人次
125
105
100
90
80
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
24
16
驾龄2年以上
26
24