2024-2025学年重庆市黔江区高三上册1月期末考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市黔江区高三上册1月期末考试数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了已知，则的最小值为，在锐角中，，则的取值范围为，已知函数的图象关于直线对称，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设全集，集合（ ）
A.B.
C.D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ）
A.B.
C.D.
4.已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（ ）
A.种B.种
C.种D.种
5.已知，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.100
6.已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是（ ）
A.B.
C.D.的图象关于直线对称
7.在锐角中，，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A.的最小正周期为B.的图象关于点对称
C.在上有最小值D.在上有两个极值点
10.设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为B.满足的最小值是14
C.满足的最大值是14D.数列的最小项为第8项
11.在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ）
A.三棱锥的体积为定值B.的最小值为
C.D.平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知非零向量满足：，且，则_____.
13.若，则_____.
14.已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数在处的切线与直线平行，其中.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最值.
16.（15分）
某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图.
（1）估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
（2）以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望.
17.（15分）
在空间几何体中，底面是边长为2的菱形，其中.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点.
（i）证明：为定值；
（ii）若.，求直线的方程.
19（17分）
集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”.
（1）若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）;
（2）若数列满足.
（i）证明：数列为等比数列，并求出;
（ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合.
数学试题答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B ，，．
2．D
3．C
4．C 由题，其中1个大组抽取2名学生，剩下3个大组各抽取1名学生．不同的抽取结果共有．
5．B ，则，当且仅当时取等，．
6．C ．
7．C 由余弦定理可知：，在锐角三角形中又有，即，解得．
8．A 作过内切球切点的截面如下：
由图可知，则，过作于．．即四棱台的高为．
设上下底面的中心分别为．外接球球心为，半径为．
则，解得．则外接球表面积为．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．ABD，即，而，故．
对于选项A：最小正周期，正确．
对于选项B：时，为的对称中心，正确．
对于选项C：时，，无最小值，错误．
对于选项D：时，，结合的图象可知，有两个极值点，正确．
10．ABD由可知．
对于选项A：由为负，为正可知，最小，正确．
对于选项B：，则满足的最小值为14，故B正确，C错误．
对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知：为负．考虑到，故最大，即最小，正确．
11．AC 对于选项A：取中点，可证明四边形为平行四边形，则，即平面．则点到平面的距离恒为直线到平面的距离．而，则三棱锥的体积不变．正确．
对于选项B：连接，计算可知，作出平面三角形可知时，取得最小值．不正确．
对于选项C：由平面平面，而平面与两个平面分别交于，则．作，则，则，．正确．
对于选项D：连接延长至与交于，则截面为．连接．记几何体的体积为．则
．则另一部分的体积．则．不正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
．
．
解得，故．
13．240 对两边同时求导可得：，再令可得：
．
14．
，而为中点，故，因此：，设，则．
化简可得：．
故点在以为圆心，半径为的圆上．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．解：（1），
而，故．
（2），
当时，单调递减；当时，单调递增．
，
的最大值为，最小值为．
16．解：（1），
故均值为29．
（2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为，则，则
；
列的分布列如下：
17．解：在中，．
取中点，连接．
，四边形为平行四边形
又四边形为菱形，
．
在中，．
．
平面．
（2）取中点，连接．
四边形为菱形，．
．
由（1），平面．
两两垂直．
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系．
设平面的法向量
设平面的法向量
记二面角的平面角为，
二面角的正弦值为．
18．解：（1）由，
解得，故双曲线的标准方程为．
（2）①当与轴垂直时，，解得．
②当与轴不垂直时，设．
设与联立可得：，
且有，故，
且．
将与联立可得：．
，
而，故．
综上所述，．
（3）由与圆相切可知：．
设直线为，与联立解得．
由（1）可知，则．
而．
消去可得：，
故．
19．解：（1），（满足要求即可）
（2）（ⅰ）．
是以6为首项，2为公比的等比数列，
即．
两边同除以，有．而．
因此是以为首项，为公比的等比数列，则．
（ⅱ）当时，不是9的倍数
当时，
故只需为整数．
①时，，不是整数．
②时，，不是整数．
③时，．
而．
当为偶数，，即．
此时．
当为奇数，．
综上，满足条件集合是的子集．0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343