中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.4.1 向量的坐标表示优秀教案设计

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2.4 向量的坐标表示
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量OA 与单位向量 i，j 之间的关系，把向量OA 分解为 xi 和 yj 之和，建立了向量OA 与点 A 的坐标(x,y)之间的关系，并且OA =xi+yj；接着利用向量的减法建立了任一向量 AB 与它的终点 B 与起点 A 的坐标的差之间的关系， AB =(x2- x1) i +(y2- y1) j．这两个式子表明任意一个向量
都可以用一个有序实数对与之对应，这个有序实数对就是向量的坐标表示．
教学目标
知道向量坐标的合理性和应用价值，会用直角坐标表示向量；能用向量坐
标进行向量的线性运算和内积运算；会用向量坐标解决有关向量大小、共线、垂直等问题；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.
教学
重点
会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直．
教学
难点
向量内积的坐标表示的几何应用．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点 P 与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点 P 的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点 P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示．
提出
思考
结合
问题
数轴
分析
和平
引发
面直
思考
回答
角坐
情境
标系
导入
中点
与坐
标的
关系
引入
新知
2.4.1 向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系中分别取 x 轴、y 轴上的两个单位向量 i、j.以原点 O 为
起点做向量OP ，点 P 的坐标
为(x,y).向量OP 与两个单位向量 i、j 之间有什么关系呢？
过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M、N.
由于向量OM 与 i 共线，并且OM 的模等于| x |，
OM =xi ；同理可得， ON =yj .根据向量加法的平行四边形法则，有
讲解
理解
通过
把几
何问
说明
思考
题转
化为
探索
代数
新知
展示
领会
问题
从而
使几
何问
题可
以通
OP  OM +ON =xi+yj .
进一步，对于图中所示的以 A 为起点的向量 AB ，记点 A 与点 B 的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有
因此，对于平面直角坐标系中的任一向量 a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得 a= xi+yj. 我们把有序实数对称为向量 a 的坐标. 方便起见，常把向量 a 用它的坐标(x,y)表示，即 a=(x,y).
温馨提示
在上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)； OP =(x,y)，
AB =(x2-x1, y2-y1).
讲解
理解
过代
数运
算来
解
决，
表达
更简
展示
结合
洁，
图形
图形
运算
引发
思考
更便
思考
问题
捷
例 1 已知两点 A(-2,3)、B(3,1)，求向量 AB 和 BA 的坐标.解 AB =(3-(-2), 1-3)= (5,-2);
BA =(-2-3, 3-1)= (-5, 2).
例 2如图所示，单位圆与坐标轴交于 A、B、C、D 四点，∠AOM=45°，∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量
OB 、OM 、ON 、OE 的坐标.
解 由于点 B 的坐标为(0,1)，故OB =(0,1)；点 M 的坐标为
 22 
故OM = ，  ；
 22 
同理可得
例 3 如图所示，⏥ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0),求第四个顶点 D 的坐标.
提问
思考
例 1
引导
分析
为了
强调
讲解
解决
强调
强调
交流
“终
点的
坐标
减去
起点
的坐
标”；
典型
例 2
例题
综合
单位
圆和
向量
知识
解决
问
题；
例 3
综合
运用
平行

解 在⏥ABCD 中，有 AB = DC .设点 D 的坐标为(x,y)，则
DC = 1  x， y  .
又AB= 2  2,1  3
= 4, 2 ，
故有4, 2 = 1  x， y  .
1  x=  4，
于是，  y=  2，

 x=3，
从而
 y=2.
所以，点 D 的坐标为(3,2).
四边形的性 质、相等向 量、向量的坐标表示等多个知识点，
透了方程的思想
练习 2.4.1
1. 判断下列说法是否正确.
(1) x 轴上的单位向量 i 的坐标为(1,0)；
提问
思考
及时
掌握
起点不在原点的向量不能确定它的坐标；
由于 x 轴和 y 轴上的单位向量 i、j 的模都是 1，所
学生
掌握
以它们的坐标相等；
情况
(4)向量OA 的坐标是唯一确定的.
查漏
2.已知点 A(2,-1)，写出向量OA 的坐标，并用 x 轴和 y
轴上的单位向量 i、j 线性表示向量OA .
巡视
动手
求解
补缺
巩固练习
已知向量OA =-5i+2j，写出点 A 的坐标.
已知向量 a=3i-j，写出向量 a 的坐标.
已知两点 A 与 B 的坐标，求 AB 和 BA 的坐标.
(1) A(-1, 5)，B(-3, 1)；
指导
交流
A(-5, 3)，B(4, 5)；
A(2,-6)，B(3, 5).
6.如图所示，O 为菱形 ABCD
对角线的交点，AC=4，BD=6.以对
角线 CA、DB 所在的直线作 x、y
轴，求向量OC 、OD 、OB 的坐
标.
情境导入
2.4.2 向量线性运算的坐标表示
对于向量 a=(x1,y1)和 b= (x2,y2)，向量 a+b 、a-b、λa如何用坐标表示呢？
提出问题引发
思考
思考分析回答
提出问题引发
思考
探索新知
这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).
实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积．
讲解说明
展示
讲解
理解思考
领会
理解
结合向量加法进行推 理，提升数学运算核心素养
典型例题
例 4 设 a=(3, -2)，b= (-2, 1)，求：
(1) a+b；(2) a-b； (3)3a-2b .
解 (1) a+b = (3,-2)+(-2,1) = (3+(-2),-2+1) = (1,-1) ;
a-b =(3,-2)-(-2,1)= (3-(-2),-2-1)= (5,-3)；
3a-2b=3(3,-2)-2 (-2,1)=(9,-6)- (-4,2)=(13,- 8)．
例 5 如图所示,正六边形 ABCDEF
的中心 O 在坐标原点，边长为 2，
CF 在 x 轴上，试求向量 AB 、BC 、
DE 的坐标.
解 (1) 根据题意，ΔABO 和 ΔBOC 都是边长为 2 得到正三角形，故点 C 的坐标为(2,0).因此
设正六边形与 y 轴的负半轴交于点 G,则 OG 为正三角形 ABO 的高和中线.于是 OG= 3 BG= 3 ×1= 3 .
故点 B 的坐标为(1,- 3 ).于是，
因为OB  (1,  3) ，所以
我们知道，当 a≠0 时，a∥b⇔存在实数 λ，使得 b=λa.
设 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，由 b=λa 得，x2=λx1 且 y2=λy1，则
x2  y2 或 x y =x y .
提问引导
讲解强调
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
思考分析
解决交流
例 4是向量坐标的线性运算示例例 5是结合特殊图形和相等向量的性质解决问题例
6 是达成课标要求会用向量
的坐
1 2 2 1
x1y1
因此，当 a≠0 时，a∥b⇔ x2  y2 或 x y =x y .
1 2 2 1
x1y1
提问引导
思考分析
标形式判定两
个向
例 6已知向量 a=(−2,3)，b=(4,−6)，判断向量 a 与 b 是否共线.
解 由于 x1 y2=−2×(−6)，x2 y1=4×3，且−2×(−6)=4×3，故
a∥b，即向量 a 与 b 共线.
讲解强调
解决交流
量平行
巩固练习
练习 2.4.2
1. 已知向量 a、b 的坐标分别求 a+3b，5a-2b 的坐标.
a=(−2,3)，b=(4,6);
a=(2,3)，b=(3,1).
2. 已知向量 a、b 的坐标，判断这两个向量是否共线.
a=(−2,3)，b=(6, −9);
a=  2, - 12  ，b= 12 , -2  ;
5  5

a=(1,−2)，b=(−7,14).
己知点 B(4, −3)，连接 OB 并延长至 C 点，使得
|OC|=2|OB| ，求向量OC 的坐标.
求例 5 中向量 AD 、 AC 、 BD 的坐标.
如图所示，正方形 ABCD 的中心在原点 O，四边与坐标轴垂直，边长为 2，求向量 AC 与 BD 的坐标.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
2.4.3 向量内积的坐标表示
对于向量 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，内积 a·b 是否可以用坐标表示？如何表示呢？
提出问题引发思考
思考分析回答
延续原有知识脉络
探索新知
由 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)知，a=x1i+y1j，b= x2i+y2j.根据向量内积的定义，i·j=j·i=0，i·i=|i|2=1，j·j=|j|2=1，有
a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)
= x1x2 i·i+x1y2i·j+y1x2j·i+ y1y2j·j
=x1x2+y1y2.
这说明，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的
讲解说明
展示
理解思考
领会
向量的坐标表示将向量
的内
和，即
a·b=x1x2+y1y2.
根据内积的定义，还可以得到以下结论：
讲解
理解
积运算代数化进而解决有关几何问题
典型例题
例 7 已知向量 a=(3,4)，b=(−2, 1)，求 a·b、|a|、|b|、
cs.
解 a·b=3×(−2)+4×1=-2.
|a|= a  a x 2  y 2  32  42  5 .
11
同理， |b|= 22  12  5 .
a  b22 5
cs a,b === .
|a||b|5  525
例 8 判断下列各组向量是否互相垂直.
(1) a=(4, −6) ， b= (9,6) ;
(2) a=(0, −2) ，b=(1, −3).
解 (1)因为 a·b=4×9+(−6)×6=0，所以 a⊥b.
(2)因为 a·b=0×1+ (−2)×(−3)=6≠0，所以 a 与 b 不垂
直.
提问引导
讲解强调
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
思考分析
解决交流
例 7是向量内积的坐标表示的几何应用 例 8是水平二学业要求适当
提高
巩固练习
练习 2.4.3
1.已知向量 a、b 的坐标，求 a·b.
a=(2, −3) ，b=(−1,5) ；
a=(4, −1) ， b=(1,6).
己知向量 a=(2, −5)，求向量 a 的模.
判断下列各组向量是否互相垂直.
a=(1, −3) ，b=(3, −2) ；
a=(2,0) ， b=(0, −7) ；
a=(−2,3) , b=(3,4).
4. 己知向量 a=(3,5), b=(−2,1)，求 2a·5b.
5. 已知向量 a=(−2,3) , b=(3,4)，求 cs.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置
1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
说明
记录
继续
作业
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
探究
延伸学习