2025高考数学一轮复习-第2章-函数-第3讲 奇偶性、对称性与周期性【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第2章-函数-第3讲 奇偶性、对称性与周期性【课件】，共54页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，函数的奇偶性，f－x＝fx，重点串讲能力提升，x－1，ln2，函数的周期性及应用，函数的对称性等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．　2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
f(－x)＝－f(x)
2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的______正周期．
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
解析：(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误．(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________________．
(－2，0)∪(2，5]
解析：由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
4．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________．解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
判断函数的奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
已知函数f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)，则f(x)(　　)A．是奇函数，且在(0，1)上单调递增B．是奇函数，且在(0，1)上单调递减C．是偶函数，且在(0，1)上单调递增D．是偶函数，且在(0，1)上单调递减
由对数运算性质知f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)＝ln [(2＋2x)(3－3x)]＝ln [6(1－x2)]＝ln 6＋ln (1－x2)(－1＜x＜1)，设u＝1－x2，y＝ln u，则u＝1－x2在(0，1)上单调递减，函数y＝ln u单调递增，由复合函数的单调性可知函数f(x)在(0，1)上单调递减．
g(2＋x)＝g(2－x)⇔g(－x)＝g(x＋4)③，由②③知g(x＋4)＝－g(x＋3)，即g(x＋1)＝－g(x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x).从而g＝g＝g＝0，B正确；同法一可判断A，D错误．
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．2．画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
[解析]　(1)令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，故f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋2)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)，故f(0)＝2，同理，令x＝1，y＝1，得f(2)＝－1；令x＝2，y＝1，得f(3)＝－2；令x＝3，y＝1，得f(4)＝－1；令x＝4，y＝1，得f(5)＝1；令x＝5，y＝1，得f(6)＝2.
对于④，分别令x＝1，2，得f(1)＋f(3)＝－2，f(2)＋f(4)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4.对于①，令x＝－1，得g(1)－f(－3)＝7，则g(1)－f(1)＝7⑤，对于②，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝5⑥，由⑤⑥，得f(1)＝－1.对于②，令x＝0，得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以f(0)＝1.
1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期．2．利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________．
解析：因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340.
例4　(1)(多选)(2024·河北承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2，0)对称C．f(x)的周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数
[解析]　(1)∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4).又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
1.求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．2．解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．