2025高考数学一轮复习-第2章-函数-第9讲 函数模型的应用【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第2章-函数-第9讲 函数模型的应用【课件】，共35页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，重点串讲能力提升，未知函数模型需构建等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．　2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．　3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．
1．指数、对数、幂函数模型性质比较
2.几种常见的函数模型
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
3．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800时，那么超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算．
解析：若x＝1 300，则y＝5%(1 300－800)＝25＜30，因此x＞1 300.由10%(x－1 300)＋25＝30，得x＝1 350.
用函数图象刻画变化过程
例1　已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)
[解析]　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　)A．y＝mx2＋n(x＞0)B．y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C．y＝max＋n(m＞0，a＞1)D．y＝mlgax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)
解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.
已知函数模型解决实际问题
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．2．利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
故f(x)max＝f(9)＝81×9－×93－100＝386.当10＜x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.综上，当x＝9时，年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．
在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
2．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
(2)当0≤x≤30时，w＝900x－15 000，当x＝30时，wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)；当30＜x≤75时，w＝(－10x＋1 200)·x－15 000＝－10x2＋1 200x－15 000＝－10(x－60)2＋21 000，当x＝60时，w最大为21 000元，所以每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．