2025高考数学一轮复习-第3章-一元函数的导数及其应用-第3讲 导数与函数的单调性【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第3章-一元函数的导数及其应用-第3讲 导数与函数的单调性【课件】，共60页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，单调递增，单调递减，常数函数，定义域，重点串讲能力提升，不含参函数的单调性，含参函数的单调性，函数单调性的应用，－∞0等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性．　2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
1．函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的_________；第2步，求出导函数f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)(2)在(a，b)内，f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　)
2．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)＞f(c)＞f(d)　B．f(b)＞f(a)＞f(e)C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(d)＞f(e)
解析：由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增．因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减．因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).
3．函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是______________________．
∵函数在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立．∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4.又a＞0，∴0＜a≤2.
例1　(2022·北京卷节选) 已知函数f(x)＝ex ln (1＋x).设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性．
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)A．(0，1)　　　　　　　B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，1)
含参数单调性问题的讨论(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否为一个连续的区间)；(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无须单独讨论的部分)；
(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)，然后再求有效根；(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；(5)导数图象定区间．
(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性．
角度1　利用导数研究函数的图象例3　(1)函数f(x)＝ln x2－x的图象大致为(　　)
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)
(2)由导函数的图象可得当x＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．只有C选项的图象符合．
原函数的单调性与导函数的函数值符号的关系原函数f(x)单调递增⇔导函数f′(x)≥0(导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足f′(x)＞0)；原函数单调递减⇔导函数f′(x)≤0(导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足f′(x)＜0).
令k(x)＝(1＋x)(1－x)ex－1，所以k′(x)＝(1－x2－2x)ex＞0, 所以k(x)在(0，0.1]上单调递增，可得k(x)＞k(0)＞0，即g′(x)＞0, 所以g(x)在(0，0.1]上单调递增，可得g(0.1)＞g(0)＝0，即a－c＞0，所以a＞c.故c＜a＜b.
利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小．
角度3　解不等式例5　已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＞1的解集为_____________．
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式．
已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，不等式xf′(x)＋f(x)＜0恒成立，且f(1)＝3，则不等式f(e－x)＜3ex的解集为(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，－1)C．(ln 3，＋∞) D．(1，＋∞)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，所以g(x)在R上单调递减．由f(e－x)＜3ex，得e－xf(e－x)＜1×f(1)，即g(e－x)＜g(1)，所以e－x＞1，解得x＜0.
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，则g′(x)＞0在[1，2]上有解，即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，∴a＞(－2x2－x)min.又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10，∴实数a的取值范围是(－10，＋∞).
根据函数单调性求参数的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
1.(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝______；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是____________．解析：若函数f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)，(a＋1)(ex＋e－x)＝0对任意的x恒成立．若函数f(x)＝ex＋ae－x是R上的增函数，则f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，a≤e2x，a≤0.即实数a的取值范围是(－∞，0].