2025高考数学一轮复习-第7章-立体几何与空间向量-第5讲 空间直线、平面的垂直【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第7章-立体几何与空间向量-第5讲 空间直线、平面的垂直【课件】，共47页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，两条相交直线，两个半平面，∠AOB，直二面角，a⊂α，重点串讲能力提升，面面垂直的判定与性质，垂直关系的综合应用等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理．　2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题．
1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的_______一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
3．二面角(1)定义：从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是_________．(3)二面角的平面角α的范围：[0，π].
4．两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．
(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理
1.三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任意一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
2．三种垂直关系的转化
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
解析：(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误．(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误．(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误．
2．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　)A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β
解析：α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以b不一定垂直于α，α不一定垂直于β，故B不正确；a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确；因为a⊥β，a∥α，所以α中一定有一条直线垂直于β，所以α⊥β，故D正确．
3．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB.因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，所以AB⊥平面PGC.又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理，可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．
直线与平面垂直的判定与性质
例1　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
[证明]　(1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA.过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥AE.因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
(1)[证明]　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．面面垂直性质定理的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面．
(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：EF∥平面ABCD；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
(1)证明：取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接EM，FN，GP，HQ，MN，NP，PQ，QM.在正三角形ABE中，M为AB的中点，所以EM⊥AB.又平面ABE∩平面ABCD＝AB，且平面ABE⊥平面ABCD，所以EM⊥平面ABCD.同理FN⊥平面ABCD，所以EM∥FN.又EM＝FN，所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF∥MN.又MN⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
(1)[证明]　∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，∴BC⊥AC.∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形．
(2)[解]　如图，过A作AH⊥PC于H.∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角．∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角．
1.证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化．2．线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解．