2025高考数学一轮复习-第7章-立体几何与空间向量-第9讲 空间角问题【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第7章-立体几何与空间向量-第9讲 空间角问题【课件】，共60页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，重点串讲能力提升，异面直线所成的角，直线与平面所成的角等内容，欢迎下载使用。
课程标准　能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
3．平面与平面的夹角(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
解析：(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量u，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角或其补角．
4．设M，N分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________．
有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
解析：设等边三角形的边长为2，取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
例2　(2020·新高考Ⅰ卷)如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
(1)[证明]　因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以l∥AD，因此l⊥平面PDC.
如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；(2)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．
二面角及平面夹角的问题
(1)[证明]　连接AE，DE，∵DB＝DC，E为BC的中点，∴DE⊥BC.又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC＝AB，∴AE⊥BC.又∵AE∩DE＝E，AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴BC⊥平面ADE，又∵DA⊂平面ADE，∴BC⊥DA.
角度2　已知二面角大小求解其他问题例4　(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150°时，求B2P.
设参数λ，利用公式表示两个平面夹角的余弦值，解方程求出λ即可得解．