四川省仁寿第一中学校南校区2025届高三适应性测试（一模）数学试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿第一中学校南校区2025届高三适应性测试（一模）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，则( )
A.B.
C.D.
2．设，则( )
A.B.C.D.
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A.-2B.C.2D.
4．已知，，则( )
A.B.C.D.
5．设a，，则下列结论错误的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若a，且，则
6．已知双曲线的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l，M，N分别是l与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点若M是线段的中点，则C的渐近线方程为( )
A.B.
C.D.
7．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为( )（附：的值取3，）
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域为R，且，，设，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．给出下列四个命题，其中不正确命题为( )
A.是的充分不必要条件
B.是的必要不充分条件
C.是函数为奇函数的充要条件
D.是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件
10．已知函数，，是的两个零点，且，则( )
A.B.为的极小值点
C.的极大值为4D.满足的解集是
三、填空题
11．二项式的展开式中的常数项为___________.
12．已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是___________.
13．已知抛物线，的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为___________.
四、双空题
14．某警察学院体育比赛包括“射击”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“伤员搬运”、“400米障碍”六个项目，规定：每个项目前三名得分依次为a，b，c，其中，选手的最终得分为各场得分之和最终甲、乙、丙三人包揽了每个项目的前三名，在六个项目中，已知甲最终得分为26分，乙最终得分为12分，丙最终得分为10分，且丙在“射击”这个项目中获得了第一名，那么___________，“游泳”这个项目的第二名是___________.
五、解答题
15．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点M，若，，求的周长
16．已知数列的前n项和为，，数列是以1为公差的等差数列
(1)求数列的通项公式；
(2)若对于任意正整数n，都有，求实数的最小值
17．某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)设随机变量服从二项分布，记则当时，可认为服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次
附:若，则，.
18．如图，在四棱锥中，底面，若四边形为菱形，，，且E，F分别为，的中点
(1)试判断直线与是否垂直，并说明理由；
(2)若四棱锥的体积为，求异面直线与所成角的余弦值
19．如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心P在椭圆C上运动，且半径为的圆P是椭圆C的“环绕圆”.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线与椭圆C的另一个交点为点Q，“环绕圆”P的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点P，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；
(3)若过原点O可作“环绕圆”P的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围
20．已知函数.
(1)若，是定义在R上的函数，，.证明：当时，为周期函数
(2)若曲线在处的切线方程为，设，为的导函数，且有两个极值点，.证明：
参考答案
1．答案：B
解析：由题意，集合，或，
所以，
故选：B.
2．答案：B
解析：，
则，
故选：B.
3．答案：A
解析：由题在上的投影向量为，
又，，即，
.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为，
所以，
所以，
，
两式相加可得：
，
所以
，
所以，
解得
故选：C.
5．答案：B
解析：对于A，若，则，则，正确；
对于B，若，则，则，不正确；
对于C，若，则，正确；
对于D，因为函数在上单调递增，
，，正确
故选：B.
6．答案：C
解析：设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为，
当时，，即，又，
因为M是线段的中点，所以，得，
所以，即，
所以C的渐近线方程为.
故选：C.
7．答案：B
解析：设该圆台的母线长为l，两底面圆半径分别为R，r（其中），
则，，，
所以，
故圆台部分的侧面积为，
圆柱部分的侧面积为，
故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.
故选：B.
8．答案：C
解析：由，，
令，得，即，
令，得，即，
令，得，即，
令，得，即，
同理可得，，，，
则
.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A项，设函数，
因为在R上单调递增，
则，
因为在R上单调递增，
当时，即，所以充分性成立；
若，即，
又因为在R上单调递增，所以，必要性成立；
所以“”是“”的充要条件，A不正确
对于B项，取，满足，但是不满足，
则“”不是“”的必要条件，B不正确
对于C项，时，的定义域为R关于原点对称，
又因为，
所以是定义在R奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则
并且，又因为，
则，所以必要性成立
故是函数为奇函数的充要条件，所以C正确
对于D项，因为函数在上单调递增，
所以，故必要性成立，所以D项不正确
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：因为，是的两个零点，
则，
即，，
则，
所以，
即，
解得，则，即.
对于A，，故A错误；
对于B，由，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则为的极小值点，故B正确；
对于C，当时，函数取得极大值，故C正确；
对于D，由于，画出函数的图像，如图，
满足的解集是，故D正确
故选：BCD.
11．答案：-15
解析：二项式的通项为，
由可得，
即得二项展开式中的常数项为-15.
故答案为：-15
12．答案：2
解析：为偶函数，
所以，，得，，
当时，，在区间内仅有两个零点，
所以，解得：，所以.
故答案为：2
13．答案：
解析：设，，根据题意可知，
故，即，
又由抛物线的定义可知，，
当时，，
故，，，
所以，四边形是平行四边形，
故四边形的面积为.
故答案为：.
14．答案：5；乙
解析：因为甲乙丙包揽了每个项目的前三名，
故它们的得分总和为，
故，
若，则，
此时，与矛盾；
故，故，
故，或，
若，则丙在除射击外的5个项目共拿6分，
但其余5个项目丙拿5分或7分以上，矛盾；
故，所以丙在除射击外的5个项目中每个项目均拿1分，共计5分；
甲共计分，则甲在除射击外的5个项目中拿24分或25分，
若甲在除“射击”外的5个项目中拿25分，则甲在射击项目中拿1分，
其余5个项目中每个项目都拿5分，
此时乙在6个项目中的分数为，符合题意；
若甲在除“射击”外的5个项目中拿24分，
故甲在射击中拿2分，乙拿1分，
则其余5个项目中，甲在4个项目中每个项目拿5分，1个项目中拿2分，
此时甲的总分达不到26分，
故，游泳的第二名为乙，
故答案为：5，乙
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中，由正弦定理可知
可转化为，
即，
即，，
由在中，，
则；
(2)在中，
由，
即，
又直线为的平分线，
则，
所以，
即，
又由余弦定理可得，
即，
可知，
解得或（舍），
所以的周长为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)数列是以1为公差的等差数列，且，
，，
当时，；
经检验，当时，满足上式
(2)由，
则
，
而，
所以，即的最小值为.
17．答案：(1)
(2)68
解析：(1)该同学投篮了四次，设A，B分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”.
则有.
(2)随机变量代表n次投篮后命中的次数，
则服从二项分布，
然后令随机变量，
并近似视为其服从正态分布.
题目条件即为，
即的概率至少为.
由于我们有，
故命题等价于，
解得.
综上，该同学至少要投68次
18．答案：(1)直线与不垂直，理由见解析；
(2).
解析：(1)直线与不垂直，证明如下：
假设，连接，
连接，由E，F分别为，的中点，得，
由平面，得平面，
而平面，则，
又，，平面，
于是平面，又平面，
则，由四边形是菱形，
得，因此，与矛盾，
所以直线与不垂直
(2)菱形中，，，
则，
菱形的面积，而平面，
于是四棱锥的体积为，解得，
由，平面，
得，
，
，
由，得或其补角即为异面直线与所成的角，
在中，，
由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
19．答案：(1)；
(2)存在，2条；
(3).
解析：(1)由题意，，得，
故椭圆C的标准方程为；
(2)由(1)知：，显然直线不与y轴重合，
设直线为，，
联立，
得，显然，
所以，，
则，
圆P半径为1，则，
故，
所以（负值舍），
即满足条件的直线有2条；
(3)设切线方程为，
切线方程为，且，
圆P与相切，则，
化简得，
同理，
所以，是的两个不相等实根，
则，
又在椭圆C上，
故，则，
由，存在，则，
即，
所以.
20．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)时，，
，
则
，
为偶函数
①，，，
②，，；
③，，.
，，为偶函数
，，
，，
即为周期函数
(2)由题意得，
由已知，，，
，
，
，
设
.
由已知，，为在上的两个不等实根，且，
，
，
，
，
要证:，
只需证，
即证.
设，
则，
在上单调递减，又.
.
，
原不等式成立