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    2024-2025学年河北省邢台市高二上学期11月期中考试数学检测试题(附解析)

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    2024-2025学年河北省邢台市高二上学期11月期中考试数学检测试题(附解析)

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    这是一份2024-2025学年河北省邢台市高二上学期11月期中考试数学检测试题(附解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题(本大题共8小题)
    1.双曲线的渐近线方程为( )
    A.B.C.D.
    2.关于空间向量,下列运算错误的是( )
    A.B.
    C.D.
    3.已知椭圆的离心率为,且过点,则的方程为( )
    A.B.
    C.D.
    4.已知,,,若,,共面,则( )
    A.0B.1C.2D.-1
    5.图中展示的是一座抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面,水面宽,水面下降后,水面宽度为( )
    A.B.C.D.
    6.已知椭圆,过点的直线交于、两点,且是的中点,则直线的斜率为( )
    A.B.C.D.
    7.若动圆过定点,且和定圆:外切,则动圆圆心的轨迹方程为( )
    A.()B.()
    C.()D.()
    8.已知,,若直线上存在点P,使得,则t的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    二、多选题(本大题共3小题)
    9.已知抛物线的焦点为,直线与在第一象限的交点为,过点作的准线的垂线,垂足为,下列结论正确的是( )
    A.直线过点B.直线的倾斜角为
    C.D.是等边三角形
    10.圆和圆的交点为,,点在圆上,点在圆上,则( )
    A.直线的方程为
    B.线段的中垂线方程为
    C.
    D.点与点之间的距离的最大值为8
    11.若平面,平面,平面,则称点F为点E在平面内的正投影,记为如图,在直四棱柱中,,, 分别为,的中点,,记平面为,平面ABCD为,,( )

    A.若,则
    B.存在点H,使得平面
    C.线段长度的最小值是
    D.存在点H,使得
    三、填空题(本大题共3小题)
    12.若直线与互相垂直,则 .
    13.如图,在棱长为的正方体中,是的中点,则 .
    14.已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为,且,记的离心率分别为,则 .
    四、解答题(本大题共5小题)
    15.已知在中,,,,记的外接圆为圆.
    (1)求圆的标准方程;
    (2)求过点且与圆相切的直线的方程.
    16.如图,长方体的底面是正方形,分别为的中点,.

    (1)证明:平面.
    (2)求二面角的余弦值.
    17.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,过点且与轴垂直的直线交于两点,是与的一个公共点,,.
    (1)求与的标准方程;
    (2)过点且与相切的直线与交于点,求.
    18.如图,在三棱锥中,为等边三角形,为等腰直角三角形,,平面平面.
    (1)证明.
    (2)点在线段上,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
    19.已知为坐标原点,双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为,圆过点,与双曲线的渐近线在第一象限的交点为,且.
    (1)求的方程;
    (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支的交点分别为,,连接并延长,交双曲线于点,记直线与直线的交点为,证明:点在曲线上.
    答案
    1.【正确答案】C
    令双曲线方程的右边为0,两侧开方,整理后就得到双曲线的渐近线方程.
    【详解】解:双曲线标准方程为,
    其渐近线方程是,
    整理得.
    故选:.
    2.【正确答案】D
    【详解】根据空间向量数量积的运算律可知:,,
    均成立,即A、B、C正确;
    为与共线的向量,
    为与共线的向量,所以与不一定相等,故D错误.
    故选:D
    3.【正确答案】A
    【详解】由题意可得解得,
    所以椭圆的方程为.
    故选:A
    4.【正确答案】D
    【详解】因为共面,所以,
    即,
    则解得.
    故选:D.
    5.【正确答案】C
    【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则点.设抛物线的方程为,
    由点可得,解得,所以.
    当时,,所以水面宽度为.
    故选:C.
    6.【正确答案】A
    【详解】若线段轴,则线段的中点在轴上,不合乎题意,所以,直线的斜率存在,
    设、,由题意可得,,
    则,两式相减可得,
    所以,,解得,
    因此,直线的斜率为.
    故选:A.
    7.【正确答案】D
    【详解】定圆的圆心为,与关于原点对称.
    设,由两圆外切可得,
    所以,
    所以的轨迹为双曲线的右支.
    设的轨迹方程为,则,
    所以轨迹方程为.
    故选:D
    8.【正确答案】B
    【详解】设,则,,
    因为,所以,
    即,所以点在以为圆心,4为半径的圆上.
    点在直线上,
    所以直线与圆有公共点,
    则,解得
    故选:B.
    9.【正确答案】ABD
    【详解】抛物线的焦点为,而,所以直线过点,故A正确;
    设直线的倾斜角,因为直线的斜率为,,
    所以,即直线的倾斜角为,故B正确;
    因为,故C错误;
    因为点在抛物线上,由抛物线定义可知,,
    又,所以是等边三角形,故D正确.
    故选:ABD.

    10.【正确答案】ABD
    【详解】对于A,将两圆的方程作差,可得,即直线的方程为,A正确.
    对于B,圆,圆,圆的圆心为,半径,圆的圆心为,,线段的中垂线经过和的圆心,故线段的中垂线方程为,故B正确.
    对于C,圆的圆心到直线的距离为,故,C错误.
    对于D,点与点之间的距离的最大值为,D正确.
    故选:ABD.
    11.【正确答案】ABC
    【详解】对于A:因为为直四棱柱,,所以以A为坐标原点,AD,AB,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,连接PQ,

    则,,,,,
    故,,
    所以,即Q,B,N,P四点共面,
    若,则,解得,A正确;
    对于B:过点H作,交于点G,过点G作AB的垂线,垂足即,
    过点A作的垂线,垂足即,连接,,由题意可得,
    则,,,,
    故,,,,
    易得是平面的一个法向量,若平面,
    则,即,解得,符合题意,
    所以存在点H,使得平面,B正确,
    对于C:,
    当时,取得最小值,最小值为,C正确.
    对于D:若,则,
    得,无解,所以不存在点H,使得,D错误.
    故选:ABC
    12.【正确答案】1
    【详解】直线的斜率,则直线的斜率,解得.
    故1
    13.【正确答案】6
    【详解】棱长为的正方体中,
    连接,则是边长为的等边三角形,
    ..
    故选:
    14.【正确答案】2
    【详解】由题意可知,,
    所以.
    因为,所以,即,
    所以,
    故2.
    15.【正确答案】(1)
    (2)
    【详解】(1)(方法一)直线的方程为,、的中点为,
    所以线段的中垂线方程为,
    直线的方程为,、的中点为,
    线段的中垂线方程为.
    直线与直线的交点为,即圆的圆心为.
    点与点的距离为,
    即圆的半径为,所以圆的标准方程为.
    (方法二)设圆的标准方程为,
    则,
    解得
    故圆的标准方程为
    (2)圆的圆心为,,直线的斜率为,
    所以切线斜率为,所求切线方程为,
    整理得.
    16.【正确答案】(1)证明见解析
    (2)
    【详解】(1)

    设,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,
    设平面的法向量为n=x,y,z,
    则即
    令,则.
    证明.
    因为,所以,
    平面ACD1,所以平面.
    (2)易知为平面的一个法向量,且.
    .
    易得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
    17.【正确答案】(1)的标准方程为,的标准方程为
    (2)
    【详解】(1)记,则抛物线的方程为,其准线方程为.
    因为,所以,解得,则的标准方程为.
    不妨设点在第一象限,记,因为,
    所以,解得.因为,所以,即.
    由解得
    所以的标准方程为.
    (2)
    不妨设点在第一象限,则.
    设直线.
    联立得.
    由,解得,则.
    设.
    联立得,则,
    故.
    18.【正确答案】(1)证明见解析
    (2)
    【详解】(1)证明:取的中点,连接.
    因为为等边三角形,所以.
    因为为等腰直角三角形,且,所以.
    因为平面平面,所以平面,
    所以.
    (2)因为平面平面,平面平面平面,所以平面.
    以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,
    设,则
    .
    设平面的法向量为n=x,y,z,
    则即
    令,则,所以.
    设直线与平面所成的角为,

    ,当且仅当时,等号成立.
    故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
    19.【正确答案】(1)
    (2)证明见解析
    【详解】(1)因为圆过点,得,所以,.
    在中,,
    所以,
    所以是等边三角形,.
    双曲线的一条渐近线的斜率为,即,所以.
    故的方程为.
    (2)证明点在曲线上,即证明点在曲线上.
    设直线,则.
    联立得,
    则.
    直线的方程为,直线的方程为
    将直线与直线的方程变形可得,
    即,
    得,
    即,
    即,
    化简可得.
    得,



    化简得.
    将代入可得,
    即点在曲线上.

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