2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学检测试卷（附解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）若，则＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
2．（5分）已知半径为2的圆O上有两点C，D，，设向量，，若，则实数m的值为（ ）
A．6B．3C．1D．﹣1
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
4．（5分）若函数f（x）＝ln（ex+1）﹣ax是偶函数，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为（ ）
A．B．0C．D．
5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，C1D1的中点，则异面直线EF与B1C所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+acs2x的图象关于点对称，若f（x1）f（x2）＝﹣2，则a|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A．B．πC．D．
7．（5分）已知数列{an}满足，，若成立，则n的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．（5分）在体积为的三棱锥A﹣BCD中，AC⊥AD，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD＝，∠BCD＝，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．12πB．16πC．32πD．48π
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
（多选）9．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B
B．若，b＝2，，则△ABC有两个解
C．若acsA＝bcsB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
D．若，则角
（多选）10．（6分）已知数列{an}满足a1＝0，，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（ ）
A．a3＝4
B．
C．
D．
（多选）11．（6分）如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形CDD1C1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．平面A1BE截正方体所得的截面图形的面积为9
C．存在F点，使得B1F⊥A1B
D．若P为CD的中点，以点P为球心，为半径的球面与四边形ACC1A1的交线长为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案写在答题卡上相应的位置）
12．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则此圆锥的体积是 ．
13．（5分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1a5＝4，则lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a5＝ ．
14．（5分）已知正四面体ABCD中，AB＝1，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且|AP1|＝|P1P2|＝⋯＝|Pn﹣1Pn|＝|PnB|，过点P1作平行于直线AC和BD的平面，该平面截正四面体ABCD的截面面积为an，则an＝ ；若 ，则数列{anbn}的最大项为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD，点M是PC的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求平面MBD与平面PBD夹角的余弦值．
16．（15分）已知函数，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求函数f（x）在区间上的值域；
（2）求角C；
（3）若，求△ABC的面积．
17．（15分）已知函数，a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若∀x∈R，f（x）≤ex﹣1，求a的取值范围．
18．（17分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是CD的中点，如图所示，沿BE将△BCE翻折至△BFE，使得平面△BFE⊥平面ABCD．
（1）证明：BF⊥AE；
（2）已知在线段BD上存在点P（点P与点B，D均不重合），使得PF与平面DEF所成的角的正弦值是．
①求的值；
②求点P到平面DEF的距离．
19．（17分）我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对（a1，a2）表示．平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组（a1，a2，⋯an）称为n维向量，它是二维向量的推广，类似于二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，则．已知向量满足an＝n，向量满足．
（1）求的值；
（2）若，其中．
（i）求证：；
（ii）当n⩾2且n∈N*时，证明：．
答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）若，则＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
【正确答案】A
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由，得z＝（z﹣1）（1+i）＝（1+i）z﹣1﹣i，
则iz＝1+i，即z＝．
则．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．（5分）已知半径为2的圆O上有两点C，D，，设向量，，若，则实数m的值为（ ）
A．6B．3C．1D．﹣1
【正确答案】C
【分析】由平面向量的数量积运算计算即可求得．
解：由题可得，，
因为，，且，
所以＝
＝4﹣2（m+2）+8m＝6m＝6，解得m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
【正确答案】D
【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
解：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，∴A选项错误；
若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n可以成任意角，∴B选项错误；
若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，∴C选项错误；
若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，∴D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
4．（5分）若函数f（x）＝ln（ex+1）﹣ax是偶函数，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为（ ）
A．B．0C．D．
【正确答案】B
【分析】由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），求导可得：f′（﹣x）＝﹣f′（x），利用特殊值可得f′（0）＝0，则答案可求．
解：由f（x）＝ln（ex+1）﹣ax是偶函数，
得f（﹣x）＝f（x），求导可得f′（﹣x）＝﹣f′（x），
令x＝0，可得：f′（﹣0）＝﹣f′（0），则有f′（0）＝0，
即曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为0．
故选：B．
【点评】本题考查函数导数的几何意义，涉及函数奇偶性的性质，是中档题．
5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，C1D1的中点，则异面直线EF与B1C所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】法一：利用坐标法可得异面直线夹角余弦值；法二：根据异面直线夹角的定义可得角．
解法一：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，C1D1的中点，
以D为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则E（1，0，0），F（0，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），
从而，，
故cs＜＞＝＝﹣，
即异面直线EF与B1C所成角的余弦值是；
解法二：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，C1D1的中点，
取AA1中点G，连接EG，FG，D1G，D1E，如图，
由正方体可知EG//B1C，
则异面直线EF与B1C所成角即为直线EF与EG所成角，
设AB＝2，则，，
由正方体可知，D1F⊥平面AA1D1D，
即D1F⊥D1G，D1F⊥D1E，
则，
在△EFG中，由余弦定理，
则直线EF与EG所成角的余弦值为，
即异面直线EF与B1C所成角的余弦值为，
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+acs2x的图象关于点对称，若f（x1）f（x2）＝﹣2，则a|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A．B．πC．D．
【正确答案】D
【分析】利用辅助角公式化简f（x）＝sin2x+acs2x，结合其图象关于点对称，可推出辅助角φ的表达式，结合其意义求得a的值，再利用f（x1）•f（x2）＝﹣2结合函数最值以及周期，即可求得答案．
解：由题意得，（），
由于函数f（x）＝sin2x+acs2x的图象关于点对称，
故，
可得，
由于tanφ＝a，
故，
故，可得最小正周期为，
由于f（x1）f（x2）＝﹣2，
故f（x1），f（x2）中的一个为函数最大值，另一个为最小值，
即a|x1﹣x2|＝|x2﹣x1|的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7．（5分）已知数列{an}满足，，若成立，则n的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【正确答案】B
【分析】对数列的递推式两边取倒数，由等差数列的定义和通项公式，求得an，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的解法，可得所求最大值．
解：数列{an}满足，，
可得＝+1，
可得数列{}是首项为3，公差为1的等差数列，
即有＝3+n﹣1＝n+2，即an＝，
＝×ו•＝＝2（﹣），
可得a1+a1a2+a1a2a3+...+＝2（﹣+﹣+﹣+...+﹣）
＝2（﹣）＝1﹣，
由，可得≥，解得n≤6，
即所求n的最大值为6．
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8．（5分）在体积为的三棱锥A﹣BCD中，AC⊥AD，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD＝，∠BCD＝，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．12πB．16πC．32πD．48π
【正确答案】A
【分析】根据题意易知三棱锥A﹣BCD的外接球的球心O为DC中点，设球O的半径为R，再根据三棱锥的体积建立方程求出R，最后根据球的表面积公式，即可求解．
解：如图：
∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的球心O为DC中点，
设球O的半径为R，则DC＝2R，又∠ACD＝，∠BCD＝，
∴DB＝CB＝R，AD＝R，AC＝R，
过A作AH⊥DC于H，∴AH＝＝＝，
又平面ACD⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD，
∴三棱锥A﹣BCD的体积为
＝＝，解得R＝，
∴球O的表面积为4πR2＝12π．
故选：A．
【点评】本题考查三棱锥的外接球问题，属中档题．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
（多选）9．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B
B．若，b＝2，，则△ABC有两个解
C．若acsA＝bcsB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
D．若，则角
【正确答案】AC
【分析】由正弦定理和大边对大角即可判断A；由正弦定理结合大角对大边即可判断B；由正弦定理计算即可判断C；由余弦定理化简即可判断D．
解：对于A，在△ABC中，由正弦定理知，sinA＞sinB⇔a＞b，结合大边对大角可得A＞B，故A正确；
对于B，因为，b＝2，，所以由正弦定理，
得，由b＞c知，C只有一解，所以△ABC有一个解，故B错误；
对于C，因为acsA＝bcsB，所以由正弦定理得：sinAcsA＝sinBcsB，即sin2A＝sin2B，
因为A，B∈（0，π），所以2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C正确；
对于D，因为，所以由余弦定理得：，
即，因为B∈（0，π），所以或，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知数列{an}满足a1＝0，，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（ ）
A．a3＝4
B．
C．
D．
【正确答案】ABD
【分析】计算数列的前三项，可判断A；由数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，可判断B；由数列的分组求和与错位相减法求和，可判断CD．
解：由a1＝0，，可得a2＝a1+2＝2，a3＝2a2＝4，故A正确；
由a2n＝a2n﹣1+2n＝2a2n﹣2+2n，即为bn＝2bn﹣1+2n，可得＝+1，
即有＝b1+n﹣1＝+n﹣1＝n，可得bn＝n•2n，故B正确；
由Tn＝1×2+2×4+3×8+...+n•2n，可得2Tn＝1×4+2×8+3×16+...+n•2n+1，
上面两式相减可得﹣Tn＝2+4+8+...+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，
可得Tn＝（n﹣1）•2n+1+2，故C错误；
由a2n＝n•2n，a2n＝a2n﹣1+2n，可得a2n﹣1＝（n﹣1）•2n，
S2n＝（a1+a3+a5+...+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+...+a2n）＝（1×2﹣2+2×4﹣4+3×8﹣8+...+n•2n﹣2n）+（1×2+2×4+3×8+...+n•2n）
＝2（1×2+2×4+3×8+...+n•2n）﹣（2+4+8+...+2n）＝2Tn﹣＝（n﹣1）•2n+2+4﹣（2n+1﹣2）＝（2n﹣3）•2n+1+6，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形CDD1C1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．平面A1BE截正方体所得的截面图形的面积为9
C．存在F点，使得B1F⊥A1B
D．若P为CD的中点，以点P为球心，为半径的球面与四边形ACC1A1的交线长为
【正确答案】ACD
【分析】根据正方体的性质，针对各个选项即可分别求解．
解：如图，分别取CC1，C1D1的中点M，N，连接MN，ME，B1M，B1N，
则易知MN∥CD1，CD1∥A1B，
∴MN∥A1B，又MN⊄平面A1BE，A1B⊂平面A1BE，
∴MN∥平面A1BE，
又易得ME∥A1B1，ME＝A1B1，
∴四边形A1B1ME是平行四边形，
∴B1M∥A1E，又B1M⊄平面A1BE，A1E⊂平面A1BE，
∴B1M∥平面A1BE，
又B1M∩MN＝M，B1M，MN⊂平面A1MN，
∴平面B1MN∥平面A1BE，
∴当F∈MN时，B1F∥平面A1BE，
即线段MN为点F的轨迹，显然，∴A选项正确；
如图，取CD中点F，连接EF，BF，CD1，
则由A1B∥D1C∥EF，可得平面A1BE截正方体所得的截面为梯形A1BFE，
又A1E＝BF＝，EF＝，A1B＝，
∴等腰梯形A1BFE的面积为＝18，B选项错误；
连接C1D，AB，
易知A1B⊥AB1，AD⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，
∴AD⊥A1B，又AD∩AB1＝A，AD，AB1⊂平面ADC1B1，
∴A1B⊥平面ADC1B1，
设MN∩平面ADC1B1＝F（即C1D与MN的交点为F），此时B1F⊂平面DAB1C1，
∴A1B⊥B1F，∴C选项正确；
如图，设AC∩BD＝G，取CG中点H，连接HP，
则易知P到平面ACC1A1的距离为PH＝＝，又球的半径为，
∴以点P为球心，为半径的球面被平面ACC1A1截得的小圆的半径为＝2，
又矩形ACC1A1中，AC＝，CC1＝4，
∴所求交线长为：矩形ACC1A1中，以H为圆心，2为半径的圆弧，易知该圆弧对应的圆心角为，
∴该圆弧长为＝，∴D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案写在答题卡上相应的位置）
12．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则此圆锥的体积是 ．
【正确答案】．
【分析】由圆锥的侧面积公式可求出母线长，再求出圆锥的高，由圆锥的体积公式即可得出答案．
解：设圆锥的高为h＝SO，母线长为l，半径r＝1，
因为圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，
所以，所以l＝2，
所以，
所以圆锥的体积是．
故．
【点评】本题主要考查圆锥的侧面积及体积的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1a5＝4，则lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a5＝ 5 ．
【正确答案】5．
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，求出a3＝2，再结合对数的运算性质，即可求解．
解：数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1a5＝4，
则a3＝2，
lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a5＝lg2（a1a2a3a4a5）＝．
故5．
【点评】本题主要考查等比中项及其性质，属于基础题．
14．（5分）已知正四面体ABCD中，AB＝1，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且|AP1|＝|P1P2|＝⋯＝|Pn﹣1Pn|＝|PnB|，过点P1作平行于直线AC和BD的平面，该平面截正四面体ABCD的截面面积为an，则an＝ ；若 ，则数列{anbn}的最大项为 7 ．
【正确答案】；7．
【分析】第一空：作出截面，然后根据已知条件判断出截面为矩形，并求出截面边长，从而求得面积；
第二空：利用函数的知识可判断当n≥3时，数列{anbn}单调递减，然后结合n＝1，和n＝2时的值即可得解．
解：第一空：由题意得，
如图，取BD中点O，连接AO，CO，
在正四面体ABCD中，△ABD，△BCD均为等边三角形，
所以AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，
所以BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，
所以BD⊥AC，
如图，过点P1作P1E∥AC交BC于点E，过点P1作P1F∥BD交AD于点F，连接FG，
则P1F⊥P1E，
故四边形P1FGE为截面，且四边形P1FGE为矩形，
由相似知识可知，，
故；
第二空：因为an＝，，
所以anbn＝＝，
令f（x）＝（x≥1），
则＝，
而，
所以当x≥3时，6﹣（6x﹣5）ln2＜0，
所以f（x）＝在[3，+∞）上单调递减，
即当n≥3时，数列{anbn}单调递减，
所以，当n≥3时，anbn≤a3b3＝6.5，又a1b1＝2，a2b2＝7，
所以数列{anbn}的最大项为7．
故；7．
【点评】本题考查了数列的通项公式，数列的单调性，数列的最大项等问题，属于中档题．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD，点M是PC的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求平面MBD与平面PBD夹角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）先证AC⊥平面PBD，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面BDM和平面PBD的法向量，利用向量法求解即可．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又OP⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴OP⊥AC，又∵BD∩OP＝O，BD，OP⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）由（1）易知OA，OB，OP两两垂直，
以直线OA为x轴，直线OB为y轴，直线OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
根据题可知OA＝4，OB＝3，OP＝4，且M为PC中点，
∴A（4，0，0），B（0，3，0），D（0，﹣3，0），P（0，0，4），C（﹣4，0，0），M（﹣2，0，2），
，，
设平面BDM的法向量为，
则，∴，
∴y＝0，令x＝1，则z＝1，
∴＝ （1，0，1），
易知平面PBD的法向量为，
设平面MBD与平面PBD夹角为θ，
则＝＝．
【点评】本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
16．（15分）已知函数，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求函数f（x）在区间上的值域；
（2）求角C；
（3）若，求△ABC的面积．
【正确答案】（1）[0，]；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得f（x）＝sin（2x+）+，然后根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）在区间上的值域；
（2）根据f（）＝，算出sin（C+）＝，结合C为三角形的内角，求出角C的大小；
（3）根据余弦定理与三角恒等变换公式化简，可得c2sinAsinB＝3，结合正弦定理推导出absin2C＝3，可得ab＝4，进而利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．
解：（1）根据题意，可得f（x）＝sin2x+（1+cs2x）＝sin（2x+）+，
当x∈时，2x+∈[，]，
可得f（x）的最小值为f（）＝sin+＝0，最大值f（）＝sin+＝1+，
所以函数f（x）在区间上的值域为[0，]；
（2）由（1）得f（）＝sin（C+）+＝，即sin（C+）＝．
因为C∈（0，π），C+∈，所以C+＝，可得C＝；
（3）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcsC＝a2+b2﹣ab，
若，则＝csC+csAcsB，
因为csC＝﹣cs（A+B）＝sinAsinB﹣csAcsB，
所以csC+csAcsB＝sinAsinB，可得＝sinAsinB，即c2sinAsinB＝3．
由正弦定理，得csinA＝asinC，csinB＝bsinC，
所以c2sinAsinB＝absin2C＝3，结合sinC＝，可得ab＝4．
所以△ABC的面积S＝absinC＝＝．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理等知识，属于中档题．
17．（15分）已知函数，a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若∀x∈R，f（x）≤ex﹣1，求a的取值范围．
【正确答案】（1）单调递增区间为（﹣∞，0），递减区间为（0，+∞）；极大值为﹣1，无极小值；
（2）．
【分析】（1）将a＝1代入，利用导数的正负与原函数的增减关系，确定函数的单调区间，即可得答案；
（2）由题意可得即恒成立，设，利用导数求出m（x）的最大值即可．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝xe﹣x﹣ex，
，
令g（x）＝1﹣x﹣e2x，则g'（x）＝﹣1﹣2e2x＜0，
故g（x）在R上单调递减，而g（0）＝0，
因此0是g（x）在R上的唯一零点，即0是f′（x）在R上的唯一零点，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），递减区间为（0，+∞），
所以f（x）的极大值为f（0）＝﹣1，无极小值；
（2）由题意知xe﹣x﹣aex≤ex﹣1，即，即，
设，则，
令m′（x）＝0，解得，
当，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
当，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
所以，
所以，
所以a的取值范围为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是CD的中点，如图所示，沿BE将△BCE翻折至△BFE，使得平面△BFE⊥平面ABCD．
（1）证明：BF⊥AE；
（2）已知在线段BD上存在点P（点P与点B，D均不重合），使得PF与平面DEF所成的角的正弦值是．
①求的值；
②求点P到平面DEF的距离．
【正确答案】（1）证明见解答；
（2）①；②．
【分析】（1）根据ABCD为矩形，且E是CD中点得到，利用勾股定理得到AE⊥BE，然后利用面面垂直的性质定理得到AE⊥平面BEF，再结合BF⊂平面BEF即可证明AE⊥BF；
（2）①建立空间直角坐标系，设，得到，然后利用向量的方法求PF与平面DEF所成的角的正弦值，列方程求即可；
②利用点到平面距离的向量公式求解即可．
解：（1）证明：依题意ABCD矩形，AB＝4，BC＝2，E是CD中点，
所以，
又AB＝4，所以AE2+BE2＝AB2，所以AE⊥BE，
因为平面BEF⊥平面ABCD，平面BEF∩平面ABCD＝BE，
所以AE⊥平面BEF，又BF⊂平面BEF，
所以AE⊥BF．
（2）①以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则C（0，0，0），D（4，0，0），B（0，2，0），E（2，0，0），
＝（﹣4，2，0），＝（﹣2，0，0），
设N是BE的中点，因为FE＝FB，所以FN⊥BE，
又平面BEF⊥平面ABCD，平面BEF∩平面ABCD＝BE，
所以FN⊥平面ABCD，，所以＝（﹣3，1，），
设＝λ，则＝（﹣4λ，2λ，0），
则．
设平面DEF的一个法向量为，
则，
令，可得x＝0，z＝﹣1，即，
设PF与平面DEF所成的角为θ，
所以＝，
解得λ＝（λ＝1舍去），
所以的值为．
②由①得＝（0，﹣，），
所以点P到平面DEF的距离d＝＝＝．
【点评】本题主要考查线线垂直的证明，直线与平面所成角的求法，点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（17分）我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对（a1，a2）表示．平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组（a1，a2，⋯an）称为n维向量，它是二维向量的推广，类似于二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度（模）等：设，则．已知向量满足an＝n，向量满足．
（1）求的值；
（2）若，其中．
（i）求证：；
（ii）当n⩾2且n∈N*时，证明：．
【正确答案】（1）；（1）（i）证明过程见解析；（ii）证明过程见解析．
【分析】（1）依题写出的展开式，利用错位相减法求和即得；
（2）根据的表达式结构，考虑构造函数，利用其单调性得，n∈N*，从而将表达式两次放缩，最后利用裂项相消法即可推理得到．
解：（1）依题，，，
则 ①，
2 ②，
①﹣②，得，
即，
∴．
（2）证明：（i）∵，，
∴，
先证：，n∈N*，
设，x＞0，则，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，即当n∈N*时，，
即，
故，n∈N*．
（ii）∵，
∴
，
∴．
综上可得，当n≥2且n∈N*时，．
【点评】本题主要考查数列的放缩法证明不等式，函数的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
x
（﹣∞，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值
单调递减