2024-2025学年江苏省南京市高二上学期中德班期中考试数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二上学期中德班期中考试数学检测试卷（附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1． 已知直线与垂直，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
2． 设双曲线，的离心率分别为，. 若，则（ ）
A. B. 2C. 4D. 8
3．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）.
A．B．或
C．D．或
4．若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．若方程表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．.D．
6．圆与圆的公切条数为（ ）
A．2条B．1条C．3条D．4条
7．已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（ ）
A．或B．C．D．
8． 已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题）
9．直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（ ）
A．1B．2C．8D．6
10．已知曲线，则（ ）
A．的焦点在轴上B．的短半轴长为
C．的右焦点坐标为D．的离心率为
11．若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（ ）
A．0B．C．2D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为 .
13．设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ．
14．已知经过点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的3倍，则直线的方程为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知三点，记的外接圆为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，求的面积.
16．已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
17．已知直线过定点．
(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程．
18．已知的圆心在x轴上，经过点和．
(1)求的方程；
(2)过点的直线l与交于A、B两点．
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
19．已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上.
(1)求C的方程；
(2)若，求直线AB的方程；
(3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值.
答案
1． 【正确答案】 C
【详解】因为，所以.
2． 【正确答案】 B
【详解】，，因为，所以，解得.
3．【正确答案】D
【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：，
因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，
因此，所以双曲线的方程为：；
当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：，
因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，
因此，所以双曲线的方程为.
综上所述，双曲线的方程为或.
故选：D
4．【正确答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系，以及圆的一般方程满足的条件，即可求解.
【详解】根据题意可得，解得或.
故选D.
5．【正确答案】A
【详解】表示圆，
则，解得.
故选：A
6．【正确答案】A
【详解】由是以为圆心， 3为半径的圆.，
转换为，
即该圆是以为圆心，4为半径的圆.
所以圆心距，
所以
所以两圆相交，故公切线的条数为2，
故选：A
7．【正确答案】A
【详解】由圆与圆的两方程相减可得：
相交弦的直线方程为：，
又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长，
可得圆心到相交弦的距离为：，
则由点到直线的距离公式可得：，化简得：，
解得或.
故选：A.
8． 【正确答案】 A
【详解】设，，则，.
由得，
所以. 因为，所以.
又因为，所以，，所以C的方程为.
9．【正确答案】ABD
【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得.
已知，，根据直线斜率公式，可得.
根据题意，直线与线段有交点，则.
故选：ABD.
10．【正确答案】BCD
【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为.
由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误.
由椭圆的标准方程为，得，
故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确.
椭圆的离心率，故选项D正确．
故选：BCD．
11．【正确答案】BD
【详解】直线恒过定点，
由可得，如图，
由解得或（舍去），即,
由，可得,
由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点.
故选：BD
12．【正确答案】或
【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得.
【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，
① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，
故直线方程为，即；
② 若，则直线方程为，代入可得，
解得，故直线方程为.
综上所述：所求直线方程为或.
故或.
13．【正确答案】
【详解】由题意，方程表示椭圆，
则满足，解得且，
则实数的取值范围是，
故
14．【正确答案】
【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，
所以，
故，
所以过点的直线的方程为，
即，
故．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的一般方程为，
由题意可知，
解得，
所以，
故的标准方程为.
（2）由（1）可知，，半径.
则圆心到直线的距离为，
所以，
故的面积为.
.
16．【正确答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）设圆M的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以②，
直线与圆M相切，得到③，
由①②③解得：因此圆的方程为
（2）设，因为A为线段BD的中点，所以，
因为在圆上，所以，解得或
当时，由可知直线的方程为；
当时，由可得斜率，
故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
17．【正确答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为直线恒过定点，
若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为，
若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为，
则求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．
（2）设Mx,y，，则，得到，所以，
又点在上，所以，整理得，
故的轨迹方程为.
18．【正确答案】(1)
(2)①或；②.
【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.
（2）①当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)12
【详解】（1）由题意可得，解得，
故曲线的方程为，
（2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，
得，都在右支上，
由，消去可得，
易知，其中恒成立，
，
代入，消元得，
所以，解得，满足，
所以直线的方程为，
（3），，
则分别在两支上，且都在的上方或的下方，
不妨设都在的上方，又，
则在第二象限，在第一象限，如图所示，
延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点，
由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，
由题设直线的方程为，直线的方程为，
由第（2）问易得，
因为，所以，
两条直线与间的距离，
所以，
令，，
所以，
设，则，在上恒为减函数，
所以在上恒为增函数，
当时即，取得最小值为12，
所以四个点所构成的四边形的面积的最小值为12.