2024-2025学年上海市高三上学期期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年上海市高三上学期期中考试数学检测试题（附解析），共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域为__________．
【正确答案】
【分析】根据分式和根式对自变量的要求可得答案.
因为，所以，即，所以定义域为.
故答案为.
2. 计算______．
【正确答案】##
【分析】运用对数运算性质计算即可
故答案为.
3. 已知是1与9的等比中项，则正实数______．
【正确答案】3
【分析】根据等比中项的定义得到方程，解出即可.
由题意得，且，解得.
故3.
4. 在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．
【正确答案】18
【分析】由二项式展开式的公式即可得到答案.
的展开式中第项为：，
∴令，即，
∴的系数为：18
故18
5. 在复平面内，复数对应的点位于第______象限.
【正确答案】三
【分析】经计算结合复数的坐标形式可得所在象限.
，其在复平面对应坐标为，故该点在第三象限.
故三
6. 已知，则______．
【正确答案】##
【分析】依题意利用两角之间的关系并根据诱导公式计算可得结果.
根据题意，由诱导公式可得,
所以.
故
7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．
【正确答案】
【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合.
要想越小，则取值越小，
故时，；故时，；故时，；故时，；
故集合中最小的4个元素所构成的集合为，
故答案为.
8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．
【正确答案】a
【分析】由图象可得与1的大小情况，由此可得与0的大小关系，即可得单调性.
，则.
又由图可得时，；
时，.则在上单调递增，在上单调递减.
则的极大值点为a.
故a
9. 已知函数．在中，，且，则______．
【正确答案】
【分析】化简函数，根据题意，得到，进而求得，即可求解；
由函数，
因为，可得，
在中，因，所以，
又因为，所以，所以，解得，
因为，所以.
故答案为.
10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．
【正确答案】4
【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案.
如图，因为，且长度构成集合，
因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和，
所以或，
当时，可分为
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
由集合的互异性，可知3需舍去；
当，可分为：
，解得；
，解得；
，解得；
综上，的值可能为.
故4
11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．
【正确答案】1
【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值.
设，如图所示，根据抛物线的定义，
可知，，
在梯形中，有，
在中，，
又，
，故的最大值是1．
故1.
12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．
【正确答案】
【分析】利用题目提供信息结合图形，将转化为，后由图形以及不等式知识可得答案.
如图所示建立坐标系，则．
其中,则.
设满足，
故，
整理得到.
故．
当三点共线时，即BE与单位圆相切，在时，有最小值为；
又，
则
，当且仅当，即时取等号.
又注意到当时，，则，当且仅当时取等号.
则，当，即在等号成立．
故．
关键点睛：本题所给信息涉及“阿氏圆”，我们常利用“阿氏圆”将不同系数的求值问题转变为相同系数求值.题中所涉不等式：为均值不等式链的一部分，即平方平均大于算术平均.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】AD选项可以通过取特殊值使得式子不成立，从而排除错误选项；C选项通过基本不等式得到的结果可以取等号与题目不符也排除；B选项讨论的取值范围，当时显然成立，当时通过构造二次函数，由函数单调性得到函数值为正，从而证明结论.
详解】A选项，当时，显然不成立；
B选项，当时，显然恒成立，当时，，
令，在上单调递增且，即，
又∵当且仅当时取等号，∴
即，∴恒成立；
C选项，∵，∴，当且仅当取等号，故不恒成立；
D选项，当时，显然不成立.
故选：B.
14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）
A. 不存在，使得的倾斜角为B. 对任意的，与都不垂直
C. 存在，使得与重合D. 对任意的，与都有公共点
【正确答案】D
【分析】通过斜率不存在即可得到倾斜角可以为，首先讨论斜率是否存在，斜率存在的情况下两直线的位置关系：斜率为乘积为得到垂直关系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立.
当时，动直线，此时倾斜角为，故A选项错误；
，当时，显然与都不垂直；当时，，
当时，，此时，即存在使得与垂直，故B选项错误；
，当时，显然与都不重合且有公共点；当时，，
当，即时，方程无解，即不存在，使得与平行，但有公共点；
故C选项错误，D选项正确；
故选：D.
15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解.
如果人数大于6，考虑前7个人：，
每相邻的3人取成一组，则有5组，
因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生，
即这15人中至少有10名男生；
每相邻的5人取成一组，则有3组，
因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生，
即这15人中至多有9名男生；
显然矛盾，故人数不可能大于6，
当人数6时，用表示男生，表示女生，则可以.
故选：B.
关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.
16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题D. ①②都是假命题
【正确答案】C
【分析】判断特称命题为真命题只需知道一个合适的值即可，判断全称命题为证明题就需要严格证明，本题因为数列公比不确定，通过讨论公比的值通过条件能否找到对应数列即可判断真假.
对于①：例如，则，
满足是等差数列，且对一切都成立，故①正确；
对于②：若an是等比数列，设公比为，显然
1．当时，，不合题意；
2．当时，，不合题意；
3．当时，因为，则a11−qk1−q>a11−qk+11−q，即1−qk>1−qk+1，
（1）当时，则，
即，解得，不合题意；
（2）当时，若为偶数，则，
即，解得，不合题意；
（3）当时，若为偶数，则，
即，整理得qkq+1>2，无解，不合题意，
综上所述：不存在满足题意，即不可能是等比数列，故②正确；
故选：C．
关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．
（1）求证：；
（2）若异面直线与所成角为，求值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接．由已知可得，线面垂直判定定理得到平面，再用线面垂直性质得到．
（2）建立空间直角坐标系，借助向量夹角余弦值公式计算即可.
【小问1详解】
证明：如图，连接．
由已知可得，平面平面，所以，
又是正方形，所以，
又平面平面，
所以平面，
又动点在对角线上，所以平面，所以平面，
所以．
【小问2详解】
以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
设，则，
则．
由已知，可得，设点，则，
所以，所以，
即，所以，
．
又异面直线与所成角为，所以，
即，
解得或0，因为，所以满足条件．
18. 已知点、、，是坐标原点.
（1）若，求的值；
（2）若实数、满足，，求的最大值.
【正确答案】（1）；（2），时有最大值16.
【分析】（1）根据，代入向量的坐标运算求得，再两边平方得的值；（2）根据，可得，代入求最大值.
，
两边平方后可得，
；
（2），
，
，
，
，
时，取得最大值16，
此时，
的最大值16.
本题考查向量的坐标运算和三角函数结合求值和最值的问题，意在考查转化与三角函数恒等变形，属于基础题型，形如类型函数的值域，根据定义域先求的范围，再求的范围.
19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；
（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；
（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）
【正确答案】（1）
（2）分布列详见解析，
（3）
【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.
（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.
（3）通过计算，，来确定正确答案.
【小问1详解】
从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.
【小问2详解】
因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，
所以的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
所以.
【小问3详解】
，证明如下：
，
，
所以.
，
，
所以.
数据：，，，，，，，，
对应的平均数为
所以
所以.
20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；
（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由标准方程直接求离心率；
（2）由面积公式得到面积，讨论动点的位置，得到面积最大值；
（3）联立直线方程与椭圆方程，消元得到二次方程，由根与系数的关系得到交点横坐标的关系，从而得到斜率的表达式，由等差数量的性质建立等量关系得出的取值范围，列出点到直线的距离代数式，建立对于函数，利用函数的单调性得到取值范围.
【小问1详解】
由椭圆方程，知，故，
所以椭圆的离心率
【小问2详解】
若直线经过坐标原点，则关于原点对称，
，
点是椭圆上一点，为椭圆上（下）顶点时，取得最大值，
此时面积取得最大值为．
【小问3详解】
设直线的方程为，代入椭圆方程，
整理得．
由，得．①
设，则．
因为，所以．
因为，且，
所以．
因为直线不过焦点，所以，
所以，从而，即．②
由①②得，化简得解得．③
焦点到直线的距离．
令，由知．
于是．
考虑到函数在上严格减，在严格增
所以，
综上可知，的取值范围为．
21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.
（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；
（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；
（3）对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.
【正确答案】（1）存在，理由见解析；
（2）是，；
（3）答案见解析.
【分析】（1）由定义结合三角函数图像得到“双夹线”；
（2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，在用作差法得出函数图像在两直线之间，由定义得出；
（3）由（2）的思路可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围.
【小问1详解】
曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”.
【小问2详解】
曲线：，
，令，即，
时，，点是曲线与的一个切点；
时，，点是曲线与的一个切点；
∴直线与曲线至少存在两个切点，
同理可得时，，点是曲线与的一个切点；
时，，点是曲线与的一个切点；
∴直线与曲线至少存在两个切点，
令，，
则，，
∴和是函数的一对“双夹线”，
.
【小问3详解】
，则，
∵，当时，，则过点的切线方程为：，
当时，，过点的切线方程也为：，
∴直线与至少存在两个切点；
同理可得，直线与相切于点和，
∴直线与至少存在两个切点；
令，，
则，
，
∴在两条直线之间，
故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”，
，
的所有取值构成的集合.
方法点睛：本题出现的一个新的定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间.
跑步软件一
跑步软件二
跑步软件三
跑步软件四
中学生
80
60
40
20
大学生
30
20
20
10