2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期期中联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期期中联考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 下列说法错误的有， 给出下列说法，其中正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. 0,2D.
【正确答案】D
解析：因为，所以，
对于集合：，所以，即，
，所以.
故选：D.
2. 已知是虚数单位，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：设，因为，得到，
所以，解得，得到，
所以，
故选：C.
3. 已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
解析：由，得，，所以与共线，
所以“”是“是与共线”的充分条件；
由，可得，解得或，
“”是“与共线”成立的不必要条件，
故“”是“与共线”充分不必要条件．
故选：A．
4. 若函数，又，且的最小值为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【正确答案】A
解析：，
由于，
结合，，故分别为的最大值点和最小值点，
由于的最小值为，故,解得.
故选；A
5. 下列说法错误的有（ ）
A. 若A与相互独立，，PB=23，则
B. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
C. 从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“至少有2个红球”，事件“都是白球”，则事件A与事件是互斥事件
D. 甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为
【正确答案】B
解析：对于A，若与相互独立，则与与也相互独立，
，故A正确；
对于B，“甲分得的不是红牌”其中的一种情况是“甲分得黄牌，乙分得橙牌，丙分得红牌”，而“乙分得的不是红牌”也含有其中的一种情况是“甲分得黄牌，乙分得橙牌，丙分得红牌”这种情况，这两个事件不是互斥事件，故B错误；
对于C，事件 “至少有2红球”包含“有2红球1个白球”及“有3个红球”这两种情况，与事件“都是白球” 不可能同时发生，所以事件与事件是互斥事件，C正确；
对于D，由题意可知甲乙各投篮一次同时投中的概率为 ，故D正确.
故选：B.
6. 已知，是椭圆上关于原点对称两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
解析：由对称性和椭圆定义可知，其中，
故，
又因为，设点，则，所以
，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
所以，
故当时，取得最小值，最小值为39，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：C.
7. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 4D.
【正确答案】D
解析：函数的定义域为R，，
即函数是奇函数，且,
由函数，都是R上的增函数，则在R上为增函数，
由，则，可得,
于是，，
当且仅当，即时，取得最小值.
故选：D.
8. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论错误的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 面积的最大值为
C. 到的左焦点的距离的最小值为
D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
【正确答案】D
解析：A：依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线则这两条垂线的交点在上，
因为，所以椭圆的离心率，故A正确；
B：因为点，，都在上，且，为的直径，
所以面积的最大值为，故B正确；
C：设，的左焦点为，连接，
所以，
又，当时，的最小值为，
则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；
D：由直线经过坐标原点，易得点A，关于原点对称，
设，，则，得，，
又，两式相减得，，
所以，故D错误.
故选：D
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列说法，其中正确的是（ ）
A. 数据，，，，，，，的极差与众数之和为
B. 已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是
C. 已知某班共有人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，则小明成绩是全班数学成绩的第百分位数
D. 一组不完全相同数据，， ，的方差为，则数据，，，的方差为
【正确答案】AD
解析：对于A，数据，，，，，，，的极差为，众数为，
所以数据，，，，，，，极差与众数之和为，A正确；
对于B，由题意可知，解得：，
所以数据为：，，，，，，数据的中位数为，
B错误；
对于C，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，
若成绩从低到高排序，小明的成绩排在第位，又因为，
又因为考试分数排名为由高分到低分，所以全班数学成绩的第百分位数应为：
第班级成绩的第名与第名同学成绩的平均数，
所以小明的成绩不是全班数学成绩的第百分位数，C错误；
对于D，因为，， ，的方差为3，根据方差性质，
，，，的方差为，D正确.
故选：AD
10. 过定点的动直线和过定点的动直线，点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（ ）
A. 对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
B. 直线以与圆相交且最短弦长为
C. 动点的轨迹与圆相交
D. 为定值
【正确答案】ABD
解析：将方程写为，所以定点的坐标为，
将方程写为，所以定点的坐标为，
由圆的方程可知其圆心坐标为，半径为.
对于选项A：因为圆心到直线的距离为，
而半径，，所以圆上恒有4个点到直线的距离为，所以选项A正确；
对于选项B：点与圆心的距离为，
所以点在圆内，所以直线以与圆相交，当直线与线段垂直时，
所交的弦最短，此时弦长为，所以选项B正确；
对于选项C：因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，此圆的圆心为，半径为，
所以与圆的圆心距为，所以，
两圆的位置关系是内含，两圆无交点，所以点的轨迹与圆不相交，所以选项C错误；
对于选项D：由选项C的判断过程中已知，所以，
所以为直角三角形，所以，所以选项D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），有下列正确的命题（ ）
A. 三棱锥的体积为；
B. 若平面，则直线不可能垂直于直线；
C. 平面截正方体的截面为等腰梯形；
D. 三棱锥的外接球的表面积为.
【正确答案】ACD
解析：对于A，正方体棱长为1，，
又为棱的中点，到平面的距离为1，
故，A正确；
对于B，连接交为，则，即，
而，平面，平面，故平面，
即当平面时，直线可能垂直于直线，B错误；
对于C，取的中点为，连接，，，则，，
又，，所以，且，
则四边形为平面截正方体的截面，为梯形，
又，即四边形为等腰梯形，C正确；
对于D，三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为，
，故，
，则，故，所以，
因为平面，
故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上，
则，，即，
故三棱锥的外接球的表面积为，D正确.
故选：ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则向量在向量上的投影向量是______.
【正确答案】
解析：因为，，
所以，
，
向量在向量上的投影向量为.
故答案为.
13. 点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是________.
【正确答案】##
解析：由题意可得圆的圆心，半径为，
则，所以过的切线斜率为，
所以直线的方程为，即，
又直线与直线平行，所以，
则与之间的距离是.
故答案为.
14. 2022年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线是“双纽线”，若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是______.
【正确答案】
解析：因为直线与曲线必有公共点，
联立，可得，
由题意可知，解得或，即实数的取值范围是.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，且，
（1）若，，求.
（2）若，，求.
【正确答案】（1）；
（2）.
【小问1解析】
由得，，
而，
则，又，所以，，
由余弦定理，故.
【小问2解析】
因，由正弦定理得，，
，于是，移项得
，
联立，,得，，
又，
于是，得，
结合，得，，所以.
16. 已知两点，，过点的直线与直线，的交点分别为、两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，
（1）当时，求直线的方程；
（2）判断直线是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）恒过定点.
【小问1解析】
解：如图所示：

显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
联立，解得点，同理可得点，
由，解得，
直线的方程为.
【小问2解析】
由（1）得，直线的方程为，联立，得点，
同理直线的方程为，联立，得点，
根据对称性，令，得，此时直线过点，
猜测直线CD过定点.
，同理：，
恒成立，、、始终三点共线，所以直线过定点.
17. 如图，已知四棱锥，，，，点，分别是，的中点，面.
（1）证明：直线面；
（2）若二面角的正弦值为，求.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
【小问1解析】
取的中点，连接、，
则，面，面，
面，同理面，
面，故面面，
而面，直线面.
【小问2解析】
因为面，面，
所以，
又，面，
所以面，
所以以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，
设面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，
由，得，令，则，
设面的一个法向量为，
由，而，即，
于是，令，则，
设二面角的平面角为，
则，所以，
则，①
又在直角三角形中，，即，②
联立①②可得，，，
所以.
18. 已知圆经过，两点，圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）是圆上一动点，求的范围；
（3）已知为的中点，若的面积为2，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
（3）或
【小问1解析】
设圆心，由，
得
解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2解析】
设Px,y，则
，
因为表示圆上一动点Px,y到点的距离，
于是，
所以范围是.
【小问3解析】
因为的面积为2，而，
到直线的距离为，
又直线的方程为，
设与直线平行且距离为的直线方程为，
令，得或，
设,,由（2）得点是圆上一动点，
则,即,
所以,
解得点的轨迹方程为，
直线与点的轨迹有交点，则，
联立方程，
解得或，
于是直线的方程为或.
19. 在区间上，若函数y=fx满足:对给定的非零实数，存在，使成立，则称函数y=fx在区间上有“性质”.
（1）若区间为，给定，判断函数是否在区间上具有“性质”，并说明理由；
（2）若函数在区间0,1上具有“性质”，求的取值范围；
（3）给定，若函数在区间0,m（其中）上具有“性质”，求的取值范围.
【正确答案】（1）不具有；
（2）
（3）
【小问1解析】
假设函数在区间R上具有“性质”，则，
而，
故函数在区间上不具有“性质”.
【小问2解析】
由题意得，
令函数，则是函数在0,1上的零点，
且函数在0,1上单调递增，
所以函数在0,1单调递增，
，即，解得.
【小问3解析】
，
化简得，得，
解得，只需，
解得，
即的取值范围是.