（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第02课 函数的性质（2份，原卷版+教师版）

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1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(0(0或f(x)0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点(eq \f(a＋b,2)，0)对称．
考向三 函数的周期性及应用
【例3】已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
【变式3-1】函数满足，且在区间上，则的值为 ．
【变式3-2】已知函数f(x)的定义域为R．当x0，))则f(2 023)＝________.
方法总结：
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等.
考向四 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
【例4】已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式4-1】函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
【变式4-2】已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A．B．C．D．
方法总结：
1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．
2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．
函数的性质 随堂检测
1.下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
2.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
3.设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6.(多选)如果函数eq f(x)＝lg\s\d(a)|x－1|在(0，1)上是减函数，那么
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
7.已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
8.设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
9.函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
10.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
11.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1