（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第04课 正弦定理、余弦定理（2份，原卷版+教师版）

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1、正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2、余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；b2＝c2＋a2－2cacs B；c2＝a2＋b2－2abcs C.
3、三角形的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)； (2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
考向一 运用正余弦定理解三角形
【例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值.
【变式1-1】记的内角 的对边分别为 ，．
（1）证明：；
（2）若，求．
【变式1-2】已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
【例2】（多选）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是4
B．若，则
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则
【变式2-1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
【变式2-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【变式2-3】在中，若，则的形状为（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积、周长
【例3】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为 eq \f(a2,3sin A).
(1) 求sin B sin C的值；
(2) 若6cs B cs C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【变式3-1】在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.
【变式3-2】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋ eq \r(3)cs A＝0，a＝2 eq \r(7)，b＝2.
(1) 求c的值；
(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【变式3-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的面积.
方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
考向四 利用正弦、余弦定理解决范围问题
【例4】在①，②，③．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且．
（1）求角C的值；
（2）求a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
【变式4-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求；
（2）若，为边的中点，求的最小值．
【变式4-2】在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
考向五 利用正弦、余弦定理解决多边形的问题
【例5】已知在四边形中，，，，且，．
（1）求；
（2）求．
【变式5-1】在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求四边形ABCD的面积．
正余弦定理 随堂检测
1.在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 已知△ABC，a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A．2eq \r(5) B.eq \r(5) C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．均不正确
4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．2
5.若在中，角的对边分别为，则（ ）
A. 或B. C. D. 以上都不对
6.在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.记内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
9.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．
10.给出以下三个条件：①且；②，； ③；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
在锐角△ABC中，，____．
（1）求角B；
（2）求△ABC的周长l的取值范围．
正弦定
理的常
见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A).
余弦定理的常见变形
(1)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).