2025年高考数学二轮复习专项精练16 数列求和及其综合应用（真题精练+模拟精练）

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【真题精练】
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）记为数列an的前项和，已知．
(1)求an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和．
2．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
3．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
4．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求an的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列an是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
3．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
5．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（ ）
A．-8088B．-8090C．-8092D．-8094
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（2023·湖南郴州·三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数B．的图象关于点中心对称
C．D．是偶函数
6．（2024·全国·模拟预测）已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则（ ）
A．
B．为等比数列
C．数列的前项和
D．、、不是任一等差数列的三项
7．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为递减数列D．的前5项和为
8．（23-24高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列an的前n项积为，，则（ ）
A．B．an为递增数列
C．D．的前n项和为
三、填空题
9．（2024·湖南娄底·一模）龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若，设龙年在闯关结束时进行到了第关，的数学期望 ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第关的概率总等于闯到第关的概率的一半，则数列的通项公式 .
10．（2024·河北沧州·模拟预测）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：
由上表可知，子一代中，子一代产生的配子中A占，a占，以此类推，子七代中的个体所占的比例为 ．
四、解答题
11．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
12．（23-24高二上·陕西西安·期中）为数列的前项和.已知，.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
13．（2023·湖北·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
14．（2023·山东聊城·一模）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
参考答案：
1．D
【分析】先得到，然后利用倒序相加来求和即可.
【详解】，
即
设①，
则②
①+②得
，
所以，
又，
所以.
故选：D.
2．D
【分析】由题意得到是等比数列，进而得到，利用错位相减法求出，构造函数，并利用导数判断函数的单调性，即可求出符合条件的的最小值.
【详解】是，的等差中项，
，故，
而，，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
，
记，则，
，
两式相减可得，，
即，令，即，
设，则，
，，在单调递减，
是递减数列，
当时，，
当时，，
使得成立的最小的的值为11.
故选：D.
3．C
【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
4．A
【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得.
【详解】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记bn的前n项和为，则.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得bn的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求bn的前50项和.
5．AD
【分析】先根据函数，的奇偶性及，结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数，即可得到是周期函数，进而判断选项A；由即可得到的图象的对称中心，进而判断选项B；利用倒序相加法及即可判断选项C；对两边同时求导即可判断选项D．
【详解】选项A：在中取为，得，
所以，取为，得，
因为函数是偶函数，所以，
取为，得，所以，
所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确；
选项B：由得的图象关于点12,1中心对称，所以B错误；
选项C：设，
则，
两式相加，得
2022，
所以，即，所以C错误；
选项D：对于，两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确
故选：AD
6．BCD
【分析】分别求出数列an和bn的几项找出公共项判断A；根据等差数列的定义可判断B；通过错位相减求和并判断的单调性可判断C；利用等差数列的通项可判断D
【详解】设an的第n项与bn的第m项相等，即，
当时，，
当时，，
当时，，故A错；
令，即，
，不是bn中的项，即不是的项，
，是bn中的项，即不是的项，
所以，则，即为等比数列，故B对；
由，
得，
两式相减得，
所以，且，所以单调递增，所以，故C对；
设、、是等差数列的第i、j、p项，的首项为，公差为d，
，
因为是有理数，是无理数
所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项
故选：BCD
7．BC
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可.
【详解】等差数列中，，解得，而，
因此公差，通项，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，为递减数列，C正确；
对于D，，所以的前5项和为
，D错误.
故选：BC
8．AD
【分析】根据等比数列的定义可判断为等比数列，进而可求解A，根据即可判断C，根据指数式的单调性即可判断B，根据分组求和结合等比求和公式即可求解D.
【详解】由可得，故为等比数列，且公比为3，首项为，故，进而,A正确，
当时，，所以，
当时，不符合上述表达，
因此，故C错误，
当时， ，由于为单调递增数列，故为单调递减，故B错误，
的前n项和为，故D正确，
故选：AD
9．
【分析】若，则得可能取值为，分别求解概率，再求解数学期望即可；根据题意求解游戏结束时进行到第关的概率为，由可得，于是根据递推关系式可得数列an的通项公式.
【详解】若，则得可能取值为，
又，所以；
设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第关的概率为；
那么有，
由可得；
即，对两边同时取倒数，可得，即，又，
故是首项为1，公比为2的等比数列，
从而.
故答案为：；.
10．/
【分析】本题考查数列的综合应用，要求考生能从实际问题中抽象出数列的递推关系式，能利用等差数列解决实际问题．
【详解】设子n代中占比为，则占比为，
所以，则子代的基因型如下表所示：
由表可知，表格中总份数为（其中淘汰了份），
因此子代中的占比为，
化简得，即，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，因此．
故答案为：.
11．(1)
(2)1012
【分析】（1）由题意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，即，
当时，
，
因为满足上式，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
12．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解.
（2）利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）证明：依题意，由两边同时加上，
可得，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，
则当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减，
可得
所以.
13．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和与项的关系可求得，从而利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）知，从而利用裂项相消法求得，从而可证.
【详解】（1）∵，当时，，
两式相减得：，整理得，
∵，∴，当时，，
∴（舍）或，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；
（2）由（1）知，，
∴，
∵，∴，即．
14．(1)，
(2)
【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；
（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.
【详解】（1），得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
雌
雄
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
D
C
A
AD
BCD
BC
AD


雌
雄