2025年高考数学二轮复习专项精练25 圆锥曲线的方程与性质（真题精练+模拟精练）

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【真题精练】
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
3．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
5．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
6．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
三、填空题
11．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 .
12．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ．
13．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
14．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
15．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
16．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
17．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
18．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
参考答案：
1．A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
2．C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
3．C
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
4．D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
5．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
6．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出OP的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
7．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
8．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
9．D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
10．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

11．3
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义，
则.
故答案为：3
12．
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，x∈R，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数hx在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数hx在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
13．
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
14．
【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由知抛物线的准线方程为x=-1，设点Px0,y0，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
15．
【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
16．45/0.8
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即或，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
17．/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
18．
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·浙江·期中）抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（ ）
A．2B．1C．D．
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024·广东·一模）双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
7．（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线
二、多选题
9．（2024·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．的轨迹方程为
B．的轨迹与椭圆共焦点
C．是的轨迹的一条渐近线
D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点
10．（2024·黑龙江·三模）加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆与椭圆有相同的焦点
C．椭圆的蒙日圆方程为
D．矩形的面积最大值为50
11．（21-22高二·江苏·单元测试）若动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，则点P的轨迹可能是（ ）
A．除两点外的圆B．除两点外的椭圆
C．除两点外的双曲线D．除两点外的抛物线
12．（2024·辽宁沈阳·一模）已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A．实轴长为4B．双曲线为等轴双曲线
C．离心率为D．渐近线方程为
13．（2024·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．
C．当点的纵坐标为4时，存在点，使得
D．若是等边三角形，则点的横坐标是3
三、填空题
14．（2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ．
15．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ．
16．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的一个焦点在直线上，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的方程为 ．
17．（2023·广东·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 .
18．（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
参考答案：
1．C
【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图，设，，延长交于A，
由题意知，O为的中点，故为中点，
又，即，则，
又由，则是等腰直角三角形，
故有，化简得，即，
代入得，
即，由所以，
所以，.
故选：C.
2．C
【分析】根据题设可得，再由点在椭圆上，代入求参数即可.
【详解】由题设，且在第一象限，轴，则，
又在椭圆上，故，而，故.
故选：C
3．C
【分析】首先得，进一步得焦距，由椭圆定义结合得，由此即可进一步求解.
【详解】由题意，所以，
因为，所以，
而，所以，
所以的面积为.
故选：C.
4．C
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知，，
在中，由余弦定理得，化简得，
则，所以，
故选：C.
5．B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立，
若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立，
所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.
故选：B
6．C
【分析】求出双曲线的顶点坐标及渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意，双曲线的顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线的顶点到其渐近线的距离为.
故选：C
7．D
【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解.
【详解】因为，所以，得，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则．
所以，解得或（舍去）．
所以．
故选：D．
8．B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示： ．
因为线段的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
9．BC
【分析】对A，设点Mx,y，，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B，由点的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C，点的轨迹方程求出渐近线方程可判断；对D，点在轴上，过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点不合题意.
【详解】对于A，设点Mx,y，，则，，
所以，化简得，所以点的轨迹方程为.故A错误；
对于B，由A选项，点的轨迹的焦点为与椭圆共焦点，故B正确；
对于C，点的轨迹对应曲线的渐近线为，故C正确；
对于D，点在轴上，则，，
所以直线，与渐近线平行，但点不在点的轨迹上，
故过点只能作点的轨迹两条切线，如图所示，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，可判定A、B正确，结合椭圆的性质和蒙日圆的方程，可判定C错误，结合基本不等式和圆的性质，可得判定D错误.
【详解】由椭圆，可得，则，
所以椭圆的离心率为，所以A正确；
由椭圆，可得，则，
故椭圆的焦点与椭圆相同，所以B正确；
因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上，
可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误；
设矩形的边长分别为和，则有，
所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x和y的关系式，对k的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点P的轨迹．
【详解】因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数k，
所以，
整理得，
当时，方程的轨迹为双曲线；
当时，且方程的轨迹为椭圆；
当时，点F的轨迹为圆，
故P点的轨迹一定不可能是抛物线，
故选：ABC．
12．ABD
【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.
【详解】设该双曲线标准方程为，则.
对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，
可解得，符合题意；
对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，
故选：ABD.
13．ABD
【分析】A选项，求出F1,0及准线方程，由抛物线定义得到，当与点重合时，取的最小值，当与点重合时，取得最小值，得到答案；B选项，在A选项基础上得到；C选项，求出，假设存在点，使得，则点为直线与准线的交点，求出直线的方程，得到，求出；D选项，得到，由抛物线定义得到点与点重合，由等边三角形的性质结合得到，从而求出点的横坐标.
【详解】A选项，由题意得F1,0，准线方程为，设准线与轴交点为，
过点作⊥抛物线的准线，垂足为，
由抛物线定义可知，，
则，故当与点重合时，取的最小值，
显然，当与点重合时，取得最小值，最小值为，
故的最小值为2，A正确；

B选项，由A选项知，当点与点重合时，等号成立，故B正确；
C选项，当点的纵坐标为4时，令中的得，，
故，假设存在点，使得，
则点为直线与准线的交点，
直线的方程为，即，
中，令得，故点，
此时，此时，C错误；
D选项，若是等边三角形，则，

因为，所以，即点与点重合，
则⊥轴，则，
又，则，所以，
故点的横坐标是，D正确；
故选：ABD
14．
【分析】由题意得，，由此可得点坐标（用表示），结合斜率公式即可得解.
【详解】不妨设，又，由题意，，
解得，所以.
故答案为：.
15．2
【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解．
【详解】如图，延长交延长线于点，
因为点是的角平分线上的一点，且，
所以点为的中点，所以，
又点为的中点，且，
所以．
故答案为：2．
16．
【分析】
根据点到直线的距离公式可得，由焦点在直线上可得，进而可求解.
【详解】由题意可得双曲线的焦点在轴上，
又直线与的交点为，所以右焦点为，故，
渐近线方程为，
所以到渐近线的距离为bac1+ba2=b=3，
又，故双曲线方程为，
故答案为：
17．
【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.
【详解】
因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，
可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，
即，
设，则，根据可知，
在中，由余弦定理可知，
即，
则，
故
故答案为：
18．
【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，利用中点坐标公式可表示出线段中点的坐标，化简，即可得答案.
【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为，
联立抛物线方程，得，，
设，则，
设线段中点，则，
即，故线段中点的轨迹方程为，即，
故答案为：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
B
B
A
D
D
AC
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
B
C
D
B
BC
ABD
题号
11
12
13







答案
ABC
ABD
ABD