2020-2021学年四川省成都市金牛区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年四川省成都市金牛区九年级上学期数学期末试卷及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】从左边看竖直叠放2个正方形．
故选C．
【点睛】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
sinA=，
故选C．
3. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得y＝x，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴y＝x，
∴＝＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、比例的性质等知识点，将y用x表示成为解答本题的关键．
4. 在“我爱大运，我爱成都”这句话中任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用爱字的个数除以所有文字的个数即可求得概率．
【详解】解：∵在“我爱大运，我爱成都”8个文字中有2个爱字，
∴任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为＝，
故选：A．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
5. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解
【详解】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6. 一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用根的判别式进行判断即可得到答案.
【详解】解：∵△＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0，
∴方程无实数根．
故选A．
【点睛】本题主要考查根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
7. 如图，路灯距离地面7.5米若身高1.5米的小明在距离路灯的底部（点O）8米的A处，则小明的影子AM的长为（ ）
A 1.25米B. 2米C. 4米D. 6米
【答案】B
【解析】
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．
【详解】解：如图，根据题意，得△MBA∽△MCO，
∴
∴即
解得AM＝2．
则小明的影子AM的长为2米．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
8. 某校前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（ ）
A. 20（1+2x）＝36B. 20（1+x2）＝36
C. 20（1+x） 2＝36D. 20（1+x）+20（1+x） 2＝36
【答案】C
【解析】
【分析】是增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元”，可得出方程．
【详解】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，
依题意得20（1+x）2＝36．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9. 对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A. 它的图象分布在二、四象限
B. 它的图象关于原点成中心对称
C. 点（﹣5，1）在它的图象上
D. 当x1＞x2时，y1＜y2
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【详解】解：A、∵k=5＞0，∴图象在第一、三象限，故B说法不正确，不符合题意；
B、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，正确，符合题意；
C、当x=-5时，=-1≠1，说法不正确，不符合题意；
D、∵k=5＞0，∴当x1＞0＞x2时，y2＜0＜y1，说法不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）有下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＞0；③4a+b＝0；④b2﹣ac＜0；其中所有正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①④C. ②④D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴得到b＝4a＜0，则可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①④进行判断；利用x＝﹣4时，y＞0可对②进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＜0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0），
∴抛物线经过点（﹣5，0），
∴x＝﹣4时，y＝16a﹣4b+c＞0，所以②正确；
∵b＝4a，
∴4a﹣b＝0，所以③错误；
∵b＜0，a＜0，c＞0，
∴b2﹣ac＞0，所以④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0的一个根＝3，则m的值是__．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x1＝3代入方程得9﹣6+3m＝0，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：把＝3代入方程x2﹣2x+3m＝0，得
9﹣6+3m＝0，
解得m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 若将抛物线y＝2x2先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为__．
【答案】y＝2（x﹣5）2+2
【解析】
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【详解】解：y＝2x2先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝2（x﹣5）2+2，
故答案是：y＝2（x﹣5）2+2．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13. 如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝1，AB＝3，点D在圆O上且平分，则DC的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】先利用圆周角定理得到∠A＝∠D＝90°，再利用勾股定理计算出BC＝，接着证明△BCD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求DC的长．
【详解】解：∵BC是直径，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ACB中，∵AC＝1，AB＝3，
∴BC＝＝，
∵点D平分，
即＝，
∴∠BCD＝∠CBD，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴DC＝BC＝×＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
14. 如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出BF＝2，再解直角△BEF，求出EF，进而得出△ABE的面积．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，即AF＝BF＝AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF•tan∠B＝2，
∴△ABE的面积＝AB•EF＝×4×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，也考查了作已知线段的垂直平分线．利用基本作图得到EF垂直平分AB是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15. 计算
（1）（）﹣2++|﹣2|﹣6cs45°；
（2）（x+8）（x+1）+12＝0．
【答案】（1）11；（2）x1＝﹣4，x2＝﹣5
【解析】
【分析】（1）先计算负指数幂、计算算术平方根，根据绝对值意义去掉绝对值，代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．
【详解】解：（1）原式＝9+3+2﹣3＝11；
（2）方程整理为一般式得x2+9x+20＝0，
则（x+4）（x+5）＝0，
∴x+4＝0或x+5＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣5．
【点睛】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16. 先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1＝0．
【答案】，1
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵a2+3a﹣1＝0，
∴a2+3a＝1，
则原式＝1．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. 如图，要在原始森林附近修一条公路MN，已知C点周围260米范围内为原始森林保护区，在M上的点A处测得C在A的东北方向上（即∠DAC＝45°），从A向东走800米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上，MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（结果精确到个位，参数据：≈1.732）
【答案】不会，理由见解析
【解析】
【分析】过点C作CH⊥AB，H是垂足．AH与BH都可以根据三角函数用CH表示出来．根据AB的长，得到一个关于CH的方程，解出CH的长．从而判断出这条公路会不会穿过原始森林保护区．
【详解】解：不会，理由如下：
如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，
由已知有∠DAC=45°，∠FBC=60°，
则∠CAH=45°，∠CBA=30°，
在Rt△ACH中，AH=CH=x，
在Rt△HBC中，tan∠HBC=，
∴HB=，
∵AH+HB=AB，
∴x+x=800，
解得x≈293（米）
∵293（米）＞260（米）．
∴MN不会穿过森林保护区．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
18. 2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【答案】（1）162°；作图见解析；（2）160人；（3）．
【解析】
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，
“重视”的人数为80−4−36−16＝24（人），补全条形统计图如图：
（2）由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）解：画树状图如图∶
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个．
∴恰好抽到同性别学生的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
19. 如图，一次函数y＝kx+b图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P在x轴上，若△ABP的面积是10，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）
【解析】
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|1+m|，根据S△ABP＝10求出m的值即可得出答案．
【详解】解：（1）将点A（2，3）代入y＝，得：m＝2×3＝6，
∴y＝，
当y＝﹣2时，x＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），
将A（2，3）、B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1，
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|1+m|，
∵S△ABP＝10，
∴×|1+m|×（3+2）＝10，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题．
20. 已知：如图1，AB是⊙O的直径，DB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，连接OD，AC∥OD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AB2＝2AC•OD；
（3）如图2，AB＝，tan∠ABC＝，连接AD交⊙O于点E，连接BC交OD于点F，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先判断出∠COD＝∠BOD，再判断出∠OBD＝90°，进而得出△COD≌△BOD（SAS），即可得出结论；
（2）先判断出△ABC∽△ODB，得出AC•OD＝AB•OB，即可得出结论；
（3）先判断出BD2＝DE•DA，再判断出△BDF∽△OBF∽△ODB，得出BF2＝OF•DF，BD2＝DF•DO，进而求出AC＝1，BC＝3，进而判断出DF•DO＝DE•DA，即可判断出△DEF∽△DOA，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AC∥OD，
∴∠A＝∠BOD，∠ACO＝∠COD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵DB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠OBD＝90°，
∴△COD≌△BOD（SAS），
∴∠OCD＝∠OBD＝90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠BOD，∠ACB＝∠OBD，
∴△ABC∽△ODB，
∴，
∴AC•OD＝AB•OB，
∴AC•OD＝AB•AB，
∴AB2＝2AC•DO；
（3）如图2，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝90°，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴BD2＝DE•DA，
∵AC∥OD，
∴OD⊥BC，
∴△BDF∽△OBF∽△ODB，
∴BF2＝OF•DF，BD2＝DF•DO，
∵AB＝，tan∠ABC＝＝，
∴BC＝3AC，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴9AC2+AC2＝10，
∴AC＝1，
∴BC＝3，
∴OB＝AB＝，BF＝BC＝，OF＝AC＝，
∴DB＝，DA＝，OD＝5，DF＝，
∴DF•DO＝DE•DA，
∴，
∵∠EDF＝∠ODA，
∴△DEF∽△DOA，
∴，
∴EF＝．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线，构造出相似三角形是解本题的关键．
四、填空题（每小题4分，共20分）
21. 若m、n是一元二次方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n+mn的值为__．
【答案】-2027
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，mn＝﹣2021，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根据题意得m+n＝﹣3，mn＝﹣2021，
所以2m+2n+mn＝2（m+n）+mn＝﹣6﹣2021＝﹣2027．
故答案为：﹣2027．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1•x2＝．
22. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（k≠0，x＞0）经过AB、BC的中点N、F，连接ON、OF、NF．若S△BFN＝3，则k＝__．
【答案】12
【解析】
【分析】先求出点N坐标，利用待定系数法即可解决问题；
【详解】解：∵N、F是AB、BC的中点，
∴BF＝BC，BN＝，
S△BFN＝3，
∴BF•BN＝••＝3，
∴BC•AB＝24，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝CO＝2，
∵N是AB中点，
∴AN＝BN＝，
∴N（2，），
把N（2，）代入，得到k＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求出点N坐标是解题的关键．
23. 现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．
【答案】
【解析】
【分析】先由方程组的解满足的条件，确定k的取值范围，再由二次函数与坐标轴有两个交点，确定m的取值范围，然后画树状图得出所有k、m的可能取值情况，从而得出答案．
【详解】解：由，
解得：a﹣b＝k﹣1，
当0≤a﹣b≤1时，即：0≤k﹣1≤1，
解得：1≤k≤2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+m图象与x轴恰有2个交点，
∴△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
∴m＝﹣1，
画树状图如图：
k和m所有可能出现的结果有9个，其中1≤k≤2且m为﹣1的结果有2个，
∴满足条件的概率为P＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为__，最小值为__．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】取BC的中点G，连接DG，依据△DCG≌△ECF（SAS），即可得出EF＝DG，再根据点D是线段AB上一动点，利用勾股定理即可得到EF的最大值以及最小值．
【详解】解：如图所示，取BC的中点G，连接DG，
由旋转可得DC＝EC，∠DCE＝90°，
又∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，
∴CG＝CF，∠DCG+∠ACD＝∠ECF+∠ACD＝90°，
∴∠DCG＝∠ECF，
∴△DCG≌△ECF（SAS），
∴EF＝DG，
①如图1所示，
当GD⊥AB时，DG最短，此时△BDG是等腰直角三角形，
∴DG＝BG×sin45°＝4×＝2 ，
即EF的最小值为2；
②当D与B重合时，DG＝BG＝4；
③如图2所示，
当D与A重合时，DG＝＝＞4，
即EF的最大值为．
故答案为：，2．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+6的顶点为A，并与x轴交于点B，在y轴上存在点C，使∠ACB＝30°，则点C的坐标是__．
【答案】（0，4）或（0，﹣4）
【解析】
【分析】将抛物线化为顶点式可得顶点A的坐标，令y＝0可得B和D点坐标，因为点C在y轴上，且∠ACB＝ 30°，以点D为圆心，DA长为半径作圆，交y轴于两点C′和C″，根据勾股定理可得△ABD是等边三角形，得∠ADB＝60°，根据圆周角定理可得 ∠AC′B＝∠AC″B＝30°，得点C′和点C″即为所求，根据勾股定理可得OC′进而可得点C的坐标．
【详解】解：因为抛物线y＝＝，
所以顶点A坐标为（4，），
令y＝0，则，
解得x1＝12，x2＝﹣4，
所以B（12，0），D（﹣4，0），
因为点C在y轴上，且∠ACB＝30°，
以点D为圆心，DA长为半径作圆，交y轴于两点C′和C″，
若∠AC′B＝∠AC″B＝30°，
则点C′和点C″即为所求；
理由如下：如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵A（4，），B（12，0），D（﹣4，0），
∴，，BD＝OD+OB＝4+12＝16，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠AC′B＝∠AC″B＝30°，
故点C′和点C″即为所求；
在Rt△DOC′中，根据勾股定理，得
．
∴C′（0，），
根据对称性可知：
C″（0，﹣），
故C点坐标为：（0，）或（0，﹣）．
故答案为：（0，）或（0，﹣）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
五、解答题（共30分）
26. 某经销商经过市场调查整理出某种商品在2020年10月的第x天（1≤x≤30）的售价与销量的相关信息如表：
已知该商品的进价为50元/件．
（1）销售该商品第几天时，销售该商品的日销售利润为2280元；
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
【答案】（1）销售该商品第2天或第28天时，日销售利润为2280元；（2）销售该商品第15天时，日销售利润最大，最大日销售利润为3125元
【解析】
【分析】（1）根据（售价﹣进价）×销售量＝2280元，列出方程并求解即可；
（2）设日销售利润为W元，由题意得W关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：（x+60﹣50）（200﹣5x）＝2280，
解得：x1＝2，x2＝28，
∴销售该商品第2天或第28天时，日销售利润为2280元；
（2）设日销售利润为W元，由题意得：
W＝（x+60﹣50）（200﹣5x）
＝﹣5（x﹣15）2+3125，
∵﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝15时，W取得最大值，最大值为3125元．
∴销售该商品第15天时，日销售利润最大，最大日销售利润为3125元．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 如图所示，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，GH交BC于点K，连接DG交EF于点O，DG＝2EF．
（1）求证DE•DA＝DO•DG；
（2）探索AB与BC的数量关系，并说明理由；
（3）连接BH，sin∠BFH＝，EF＝，求△BFH的周长．
【答案】（1）见解析；（2）BC＝2AB，理由见解析；（3）9+
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出角相等，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质和矩形的判定和性质解答即可；
（3）根据三角函数和勾股定理解答即可．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴∠DAG＝90°，
由折叠性质得：DG⊥EF，
∴∠DAG＝∠EOD＝90°，
∵∠GDA＝∠EDO，
∴△ADG∽△ODE，
∴
∴DE•DA＝DO•DG；
（2）BC＝2AB，理由如下：
过点E作EN⊥BC于N，
由折叠性质得：DG⊥EF，
∴∠EOG＝∠ENF＝∠DAG＝90°，
∴∠OEN+∠DEO＝90°，∠OED+∠EDO＝90°，
∴∠NEF＝∠EDO，
∴△DGA∽△EFN，
∴
∵∠AEN＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABNE是矩形，
∴EN＝AB，
∵AD＝2EN，
∴AD＝2AB，
∴BC＝2AB；
（3）作HQ⊥AB交AB的延长线于Q，连接EG，如图2，
∵AE∥BC，GE∥HF，
∴∠AEG＝∠BFH，
∵sin∠BFH＝sin∠AEG＝，
设AG＝3k，AE＝4k，GE＝ED＝5k，则AD=AE+ED=9k
∵DG＝2EF，EF＝，
∴DG＝，
∵
∴
解得：k＝1或﹣1（舍去），
∴AG＝3，AE＝4，AD＝9，AB＝4.5，
∵∠EAB＝∠HQG＝∠EGH＝90°，
∴∠AGE+∠QGH＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°，
∴∠AEG＝∠QGH，
∴△EAG∽△GQH，
∴
即
∴GQ＝，QH＝，GB＝，BQ＝，
∴

∴△BFH周长＝9+．
【点睛】
本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，三角函数,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6），直线y＝﹣x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）抛物线上点E位于第四象限，且在抛物线的对称轴的右侧，当△BCE的面积为32时，过点E作平行于y轴的直线交x轴于Q，交BC于点F，在y轴上是否存在点K，使得以K、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点K的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在线段OB上有一动点P，直接写出DP+BP的最小值和此时点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；（2）存在，K的坐标为（0，），（0，﹣10），（0，）或（0，）；（3）DP+BP的最小值为24，此时点P的坐标为（2，0）
【解析】
【分析】（1）先求出点B，C坐标，再将点B，C坐标代入抛物线解析式中，求解即可得出结论；
（2）利用△BCE的面积为32，求出点E，F坐标，再分三种情况，利用直角三角形的性质求解，即可得出结论；
（3）先作出PM＝DP，再判断出点M在x轴上时，所求的式子的值最小，再判断出△DOP'∽△M'DP'，得出DP'＝m，再用勾股定理求出m，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+2过点B，C，
令y＝0，则﹣x+2＝0，
∴x＝6，
令x＝0，则y＝2，
∴B（6，0），C（0，2），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和D（0，﹣6），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6；
（2）由（1）得对称轴为直线x=2.5,设点Q（m，0）且m>2.5，则E（m，m2﹣5m﹣6），F（m，﹣m+2），
∵△BCE的面积为32，
∴EF•（xB﹣xC）＝32，
∴[﹣m+2﹣（m2﹣5m﹣6）]•（6﹣0）＝32，
∴m＝4或m＝（舍），
∴E（4，﹣10），F（4，），
∵以K、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形，
当∠EFK＝90°时，
∴FK∥x轴，
∴K（0，），
当∠FEK＝90°时，
∴EK∥x轴，
∴K（0，﹣10），
当∠EKF＝90°时，设K（0，k），
∴EK2+FK2＝EF2，
∴42+（k+10）2+42+（﹣k）2＝（+10）2，
∴k＝，
∴K（0，），（0，﹣10），（0，）或（0，）；
（3）如图，
以点D为直角顶点作Rt△PDM，使DM＝3DP，
在Rt△PDM中，根据勾股定理，PM＝＝DP，
要使DP+BP最小，则有点B，P，M在同一条线上，
而点B，P在x轴上，
所以，点M在x轴上时，DP+BP最小，此时，点M记作M'，点P记作P'，
设P'（m，0），
∵∠DOP'＝∠M'DP'＝90°，∠OP'D＝∠DP'M'，
∴△DOP'∽△M'DP'，
∴，
∴，
∴DP'＝m，
在Rt△DOP'中，OD＝6，根据勾股定理得，（m）2﹣m2＝36，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴P（2，0），
∴DP+BP＝×2+（6﹣2）＝24，
即DP+BP的最小值为24，此时点P的坐标为（2，0）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造出PM＝DP是解本题的关键．售价（元/件）
日销售量（件）
x+60
200﹣5x