（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第06课 数列求和（2份，原卷版+教师版）

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一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
【解题方法总结】
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）；
（12）；
（13）．
（14）．
题型一：公式法
例1．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．
【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为
则，解得，所以，
因为，
所以，则，所以，
因为，所以，，所以．
（2）设数列的第项与数列的第项相等，则，，，
所以，，，因为，，
所以当时，，当时，，则，当时，，
当时，，则，当时，，
当时，，则，当时，
当时，，则，当时，
当时，，则，故的前5项之和．
例2．已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．故．
（2）由（1）可知：．记，设数列的前项和．
当时，；
当时，
综上：
变式1．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
(1)求通项公式
(2)设，求数列的前项和
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，即，
又成等比数列，所以，即，
整理得，得或，若，则，，
若，则，得，，.
综上所述：或.
（2）若，则，；
若，则，.
【解题方法总结】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．
题型二：错位相减法
例3．已知数列满足且
(1)若存在一个实数，使得数列为等差数列，请求出的值；
(2)在（1）的条件下，求出数列的前n项和．
【解析】（1）假设存在实数符合题意，则必为与无关的常数.
因为.
要使是与无关的常数，则，可得.
故存在实数，使得数列为等差数列.
（2）由，且，
由（1）知等差数列的公差，所以，即，
所以
记：，有，两式相减，得，
故.
例4．已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为前项的和，求.
【解析】（1）因为，所以.
两式作差得，整理得.
令，得，故对任意都成立.
所以的首项为1，故，所以是公比为2的等比数列.
所以的通项公式是.
（2）由（1）得，所以.
所以.
又，
作差得.
变式2．已知数列的前项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意①，
当时；当时；
当时，②，
①－②得，
当时，也适合上式，所以，所以时，
两式相减得，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，③，
④，
③－④得：，所以 .
变式3．设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求其前项和
【解析】（1）因为， 所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，即，所以，
两式作差得：，
化简得：即，所以，
所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式为；
（2）方法一：设，
则有，比较系数得，所以
所以，所以，
所以.
方法二：因为，所以，
所以，
所以
，所以.
【解题方法总结】
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
题型三：分组求和法
例5．已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）证明：因为①，②，
①②可得，且，所以，数列为常数列，且③，
①②可得，且，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，所以，④，
③④可得，则，
所以，.
（2）由（1）可知，，则
.
例6．已知数列的前n项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.
【解析】（1）当时，由且得
当时，由得，所以.
所以，故， 又当时，，适合上式.
所以.
（2）因为， ， 所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.
故数列的前2n项的和，
所以数列的前2n项和为.
变式4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
【解析】（1）当时，，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，
因为，所以，所以是等差数列，首项为4，公差为3，
所以；
（2）由于，
因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，
所求和为.
变式5．已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
【解析】（1）因为，，所以，取倒得，
所以，即，即，
因为，所以是，的等比数列，所以.
（2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，
合计个3，所以.
【解题方法总结】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
题型四：裂项相消法
例7．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
【解析】（1）设公差为，由题意得解得∴.
（2）由（1）知，
∴.
∵，∴.
例8．在数列中，已知，．
(1)求；
(2)若，为的前n项和，证明：．
【解析】（1）
而，是公比为首项为的等比数列，
,.
（2）,,,
，
，
.
变式6．已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求和.
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，成等比数列，所以，即，
得，解得或（舍），所以，
所以，.
（2）由（1）得，，
所以.
变式7．已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以；
（2）
.
【解题方法总结】
题型五：倒序相加法
例9．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 .
【答案】11
【解析】因，设，则，故.
故答案为：11
例10．已知，则 .
【答案】4042
【解析】由，令可得，，且，
则，，所以函数关于点对称，即
由已知，，又
两式相加可得，
所以，.故答案为：4042.
变式8．设函数，，．则数列的前n项和 ．
【答案】
【解析】由题设，，所以，
即且n ≥ 2，当时，，当时，，
所以，.
故答案为：.
变式9．已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【答案】.
【解析】∵①， ∴当时，②，①－②得，∴；当时，，∴，此时仍然成立，∴．
∴当n=1时，；当时，，当n=1时，上式也成立，故．由于，
设
则，∴．
故答案为：．
变式10．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
【答案】46.
【解析】因为函数的定义域为，设是函数图象上的两点，其中，且，则有，
从而当时，有：，当时，，
，相加得
所以，又，所以对一切正整数，有；
故有.故答案为：46.
【解题方法总结】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
数列求和 随堂检测
1.设数列 的前项和为，且; 数列​为等差数列，且​.
(1)求数列 的通项公式.
(2)若，求数列的前项和​.
【解析】（1）当时，，得.
当时，两式相减有，即.
因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列. 则.
所以数列的通项公式为.
（2）在等差数列中，设首项为公差为，
则解得所以.则
①
②
所以①②得
即解得.
2.已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由，，得，整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知，∴，∴，
设，则，
两式相减得，从而
∴.
3.已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，即，
则，
又因为，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，所以.
所以
，
当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；
综上所述：.
4.已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为．则
，解得.故数列的通项公式为．
(2)由（1）知，，所以.
因为当时，，
所以数列的前18项和为.裂裂
项相
消法
求和
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．