2024-2025学年上海市静安区高三上册期中考试数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市静安区高三上册期中考试数学质量检测试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．设全集，则 .
2．过点倾斜角为的直线方程是 .
3．已知等差数列的公差为1，为其前n项和，若，则＝ ．
4．已知角在第二象限，且 ， 则= .
5．的展开式中x的系数为 .
6．已知，则在上的数量投影为 ．
7．已知是定义域为的奇函数， 且时，，则的值域是 .
8．若直线与曲线相切，则实数的值为 .
9．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是
10．已知函数 ， 且 ，则 .
11．已知函数 若对任意实数，总存在实数，使得 则实数的取值范围是 .
12．在中， ， P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 .
二、单选题
13．若是关于x的实系数方程的一个虚数根，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
14．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．设（其中），若点为函数图像的对称中心，B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象对称轴方程为 ；
B．函数的图像关于坐标原点对称；
C．函数在区间上是严格增函数；
D．若函数在区间内有个零点，则它在此区间内有且有个极小值点．
16．已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．无数个
三、解答题
17．深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路．2020年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计（未包括中国香港、澳门特别行政区和中华台北省的人口数据），我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图．
(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区有几个？
(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内？
18．设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.
(1)若,，求的面积；
(2)求的取值范围.
19．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求证：平面平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？
20．设， 椭圆与双曲线的离心率分别为
(1)若 ，求的值；
(2)当时，过双曲线的右顶点作两条斜率分别为的直线 分别交双曲线于点（不同于右顶点），若 ，求证：直线的倾斜角为定值，并求出该定值；
(3)当时，设点， 若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且 ，求实数的取值范围.
21．定义在R上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”．
(1)若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数；
(2)若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
(3)设定义在R上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”．设：“函数在R上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由．
答案：
1．
【分析】根据补集运算得到答案即可.
【详解】因为全集，集合，
所以.
故答案为.
2．
【分析】根据条件，知直线斜率不存在，且过点，即可求解.
【详解】因为直线过点，且倾斜角为，所以直线方程为，
故答案为.
3．2
【分析】先求得，然后求得.
【详解】依题意.
故
4．/
【分析】先根据诱导公式得，再根据同角三角函数关系得，最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】因为，所以由诱导公式可得：，
因为角在第二象限，所以，
所以，
所以
故答案为.
5．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中的指数为1，即可求出的系数．
【详解】解：在的的展开式中，
通项公式为，
令，解得；
展开式中的系数为：．
故．
本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，属于基础题．
6．
【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，设与的夹角为，
则在上的数量投影为
故答案为:
7．
【分析】求出函数在各段区间上的解析式，结合指数函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】因为是定义域为的奇函数，则，
当时，，此时，，
当时，则，则，所以，，
则，则，此时，，
综上所述，函数的值域为.
故答案为.
8．
【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，列式即可求解.
【详解】设切点坐标为，由得，
所以切线的斜率为：，
所以曲线在处的切线方程为：，
即，
所以，所以，所以.
故答案为.
9．
【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
.
点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
10．
【分析】先求出，画出在上的图象，数形结合得到，故，求出.
【详解】，，
，
画出在上的图象，如下：
显然，故，
，
即，解得.
故
11．
【分析】以二次函数的对称轴为标准分与讨论，求解即可.
【详解】当时，因为对任意实数，总存在实数，使得
所以，解得，
当时，由，解的，
综上：实数的取值范围是.
故答案为.
12．
【分析】首先确定到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体，可知是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果.
【详解】空间中，到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面的角度看，
如下图所示：
其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱；
，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为；
区域内的几何体是高为的直三棱柱.
四边形和为矩形，，，
同理可得：，，
，
，，区域内的几何体合成一个完整的半径为的球，
则，，区域内的几何体的体积之和；
又，和区域内的几何体的体积之和；
因为在中，，所以，
所以，所以，
所以区域内的直三棱柱体积，
故几何体L的体积等于.
故答案为.
关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题，解题关键是确定所求动点的轨迹形成的空间几何体，进而由对应几何体的体积公式求得结果.
13．D
【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．
【详解】解：∵1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，
∴1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，
∴，解得b＝﹣2，c＝3．
故选：D．
本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．
14．B
【分析】先解不等式得，然后根据充分条件、必要条件的概念求解即可.
【详解】由得，故成立时，不一定成立，
比如，满足，但是，不满足；
反之当成立时，一定成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
15．D
【分析】根据给定条件，求出点B，C的坐标，进而求出函数的解析式，再逐项判断作答.
【详解】在中，令得，
依题意，点，同理得点，
由得：，解得，又，则，
而，因此，，
由得，即函数的图象对称轴方程为，A错误；
因为，所以函数的图像关于坐标原点不对称， B错误；
当时，，而正弦函数在上不单调，所以函数在区间上不单调，C错误；
当时，，依题意，，
又正弦函数在内各有1个极小值点，在内无极小值点，
所以函数在区间内有且有个极小值点，D正确.
故选：D
思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
16．A
【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则，解得或，，解得或，得到，，再计算最值得到答案.
【详解】，，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
为函数的极小值，为函数的极大值，
画出函数图像，如图所示：
的值域为的子集，
则，解得或；，解得或，
，故且，，，，
当，，，故；
当，，故，此时，不成立；
当，，不成立；
综上所述：，
故选：A
关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用，得到，，可以缩小范围，简化运算，是解题的关键.
17．(1)6个
(2)
【分析】（1）先求出的值，再根据频率与频数的关系即可求得答案；
（2）利用百分位数的定义求解即可．
【详解】（1）由题意知，，
则具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区的个数为．
（2）由题意知，
∵，
则该比例落在区间内．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数关系得到，结合为钝角得到
，，利用正弦定理得到，由三角形面积公式得到答案；
（2）由（1）知，，变形得到，求出，故得到.
【详解】（1），
因为，，故，
因为为钝角，所以，，
由正弦定理得，故，
其中，
所以，解得，
，
；
（2）由（1）知，，
，
因为为钝角，所以，且，
解得，
所以，
.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可知平面，，再证平面，即可证平面平面；
（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，并取平面的一个法向量为，由题意可得，即可求解.
【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面平面，
∴平面．
∵平面，∴，
又为圆O的直径，∴，
而，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，
即，令，可得
取平面的一个法向量为，
，即，解得，
则当的长为时，二面角的大小为．
20．(1)
(2)证明见解析，定值为
(3)
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的离心率的计算公式，得到，，再结合条件，即可求解；
（2）设设的方程分别为，，,联立，求得，，结合条件，可得，即可求解；
（3）设，直线方程为，联立，通过消元及韦达定理，得到，，结合条件得到，再利用，即可求解.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为,
双曲线，即的离心率为，
由题知，解得.
（2）由（1）可知，双曲线的右顶点为，又，所以，
设的方程分别为，，,
由，消得到，
由韦达定理得到，得到，所以，得到，
同理可得，
所以，
又，所以，故直线的倾斜角为.
（3）因为，所以，
设，直线方程为，
由，消整理可得，
由，解得.
由韦达定理知，
由，消整理可得，
由韦达定理知，
设直线中点为，则，
由点在直线上得，
又点在直线上，得到，则，
又因为 ，
所以，
由题有，解得且，
所以，即实数的取值范围.
方法点晴：解答直线与椭圆、双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)是的必要非充分条件，证明见解析
【分析】（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意恒成立，即可证明是偶函数；
（2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”；
（3）充分性，可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在R上为严格增函数或严格减函数，则函数在R上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证.
【详解】（1）因为是R上的偶函数，故对任意的都有．
又是的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数．
（2）不妨设，当时，在R上是严格增函数，
有．
而
．
所以，
因此，当时，函数是函数的“从属函数”.
（3）是的必要非充分条件．
充分性，举反例．
令，显然在R上是严格增函数．
因为，所以函数是函数的“从属函数”，但在R上不是单调函数．
因此不是的充分条件．
必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在R上为严格增函数或严格减函数，则函数在R上是严格增函数或严格减函数．
任取，且，有，即对任意，且，有．
下面证明：对任意的实数，有或成立．
若存在，使得且…①，其中不妨设…②，
当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！
当①②两式中等号均不成立时，考虑，因为，由连续函数的零点存在定理知，
必存在使得，也与（其中）矛盾！
同理可证且也不可能．
因此，对任意的实数，有成立或成立．
若成立，则在R上是严格增函数；若成立，在R上是严格减函数．必要性得证．
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
题号
13
14
15
16






答案
D
B
D
A