2025届高中数学二轮复习 板块三 数列 创新点3　数列中的“三新”问题（课件+练习）

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新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.
题型一　数列的新情境问题
题型二　数列的新定义问题
(2024·长沙模拟)南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n＋1层球数是第n层球数与n＋1的和，设各层球数构成一个数列{an}.(1)求数列{an}的通项公式；
所以b1＋b2＋b3＋…＋bn310，故新堆叠坊塔的高茺可以超过310米.
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m(m∈N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1、3a2、4a3、……、(m＋1)am((m＋1)am表示高度为am的方体连续堆叠m＋1层的总高度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
因为a1＝1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－7，所以数列{an}的“min点”为3，5.
(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，数列{an}的“min点”的个数为p，证明：a1－am≤p.
①若an≥a1(n≥2)，则数列{an}不存在“min点”，即p＝0.由am－a1≥0，得a1－am≤0，所以a1－am≤p.②若存在an，使得anlg 2＋2n－1lg 3，即bn>2·32n＋1(n≥2)，所以bn≥2×32n－1.
(2)若函数f(x)＝b1＋b2x＋b3x2＋b4x3有三个零点，其中bi>0(i＝1，2，3，4).证明：数列b1，b2，b3，b4为“对数凹性”数列；
将p，q互换得t＝(q－p)Wr＋(p－r)Wq＋(r－q)Wp＝－t，所以t＝0，令p＝1，q＝2，得－Wr＋(2－r)W1＋(r－1)W2＝0，所以Wr＝(2－r)W1＋(r－1)W2＝W1＋(r－1)(W2－W1)，故数列{Wn}是等差数列，
1.解第(3)问的关键是利用赋值法证明数列{Wn}是等差数列，从而利用等差数列的相关概念及公式证明.2.数列的凹凸性是类比函数的凹凸性得到的，解决此类问题一般要从题目条件中挖掘出一个特殊的数列(例如等差数列、等比数列)，数列的凹凸性给出的不等关系就可以利用这个特殊数列的运算，结合不等式放缩加以证明.
1.(2024·泰安三模)对于m，t∈N*，s∈N，t不是10的整数倍，则m＝t·10s，则称m为s级十全十美数.已知数列{an}满足：a1＝8，a2＝40，an＋2＝5an＋1－6an.(1)若{an＋1－kan}为等比数列，求k；
设{an＋1－kan}的公比为q，则an＋2－kan＋1＝q(an＋1－kan)，即an＋2＝(q＋k)an＋1－qkan，
其中－2＋15(k－1)不是5的倍数，故若原式能被125整除，需k为偶数且能被25整除，即k需是50的倍数，在1，2，3，…，2 024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2 000，故在a1，a2，…，a2 024中，3级十全十美数的个数为40.
2.(2024·深圳二模)无穷数列a1，a2，…，an，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an；如果n是奇数，就对3n＋1尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an.(1)写出这个数列的前7项；
根据题意，a1＝(3×1＋1)÷2÷2＝1，a2＝2÷2＝1，a3＝(3×3＋1)÷2＝5，a4＝4÷2÷2＝1，a5＝(3×5＋1)÷24＝1，a6＝6÷2＝3，a7＝(3×7＋1)÷2＝11.