2025届高中数学二轮复习 板块三 数列 微专题18 等差数列与等比数列（课件+练习）

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1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现； 2.数列的通项也是高考热点，难度中档以下.
1.(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝A.120 B.85 C.－85 D.－120
2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝
3.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________.
法一　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95.法二　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，
若①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
热点一　等差、等比数列的基本运算
热点二　等差、等比数列的性质
热点三　等差、等比数列的证明
(1)(2024·北京海淀区模拟)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，则m的值为A.4 B.5 C.6 D.7
(2)(2024·宁波调研)公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1 000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.比赛开始后，当阿基里斯跑了1 000米时，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米，……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为________米.
等差、等比数列的基本量问题的求解(1)抓住基本量：首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)形式的数列为等比数列.
(1)(2024·枣庄模拟)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天行走的里程数约为
(1)(多选)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是A.若d0C.若数列{Sn}是递减数列，则对任意的n∈N*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列
当数列{Sn}有最小项，即Sn有最小值时，Sn对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，d>0，B正确；对于C，取数列{an}为首项为1，公差为－2的等差数列，Sn＝－n2＋2n，Sn＋1－Sn＝－(n＋1)2＋2(n＋1)－(－n2＋2n)＝－2n＋10.故若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列，故D正确.
(2)(2024·合肥质检)已知等比数列{an}的首项为1，且a6＋a4＝2(a3＋a1)，则a1a2a3…a7＝________.
等差、等比数列性质问题的求解(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.
(1)(2024·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝A.30 B.58 C.60 D.90
由数列{an}为等差数列，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16亦为等差数列，由S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90.
(2)求使bn取得最大值时的n的值.
2.(2024·许昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a15＋a2 010＝1，则S2 024＝ A.1 012 B.1 013C.2 024 D.2 025
3.(2024·长沙模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，则S40＝ A.60 B.70 C.80 D.150
由题意得q≠－1，且{an}是等比数列，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，又因为S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，则S30－S20＝40，S40－S30＝80，所以S30＝70，S40＝150.故选D.
4.(2024·南充二模)在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9(单位：L)依次成等差数列，若a1＋a2＋a3＝3.6，a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5
6.(2024·青岛模拟)记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S20＝100，则a10·a11的最大值为A.9 B.16 C.25 D.50
由{Sn}是等差数列，可得2S2＝S1＋S3，即2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，设{an}的公比为q.∵{an}是各项均为正数的等比数列，∴a3＝a2q，可得q＝1，∴an＝a1>0，
当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0